## 解答

## 解答

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1. 問題の内容**

なめらかな水平面上または斜面上を運動する質量 $m$ の物体に、複数の力が加わっている。それぞれの図について、加速度 $a$ と垂直抗力 $N$ を求める問題。重力加速度の大きさを $g$ とする。図は3つのパターンが与えられている。

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2. 解き方の手順**

それぞれの図について、以下の手順で解く。

(1) 力の図示：物体に働く力を全て図示する（重力、垂直抗力、外力）。

(2) 座標軸の設定：運動方向とそれに垂直な方向に座標軸を設定する。

(3) 力の分解：力を座標軸方向に分解する（必要な場合）。

(4) 運動方程式：運動方向に運動方程式を立てる（$ma = \sum F$）。

(5) 力のつり合い：運動方向に垂直な方向の力のつり合いの式を立てる（$\sum F = 0$）。

(6) 加速度 $a$ と垂直抗力 $N$ を求める。

**（1）図の場合**

* 力の図示：物体には、重力 $mg$、垂直抗力 $N$、$F_1$、$F_2$が働く。

* 座標軸：水平右向きを $x$ 軸正方向、鉛直上向きを $y$ 軸正方向とする。

* 力の分解：$F_1$ を $x$ 軸、$y$ 軸方向に分解すると、$F_{1x} = F_1 \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} F_1$、$F_{1y} = F_1 \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} F_1$。

* 運動方程式（x軸方向）：$ma = \frac{\sqrt{2}}{2} F_1 - F_2$。よって、$a = \frac{\sqrt{2} F_1 - 2F_2}{2m}$。

* 力のつり合い（y軸方向）：$N + \frac{\sqrt{2}}{2} F_1 - mg = 0$。よって、$N = mg - \frac{\sqrt{2}}{2} F_1$。

**（2）図の場合**

* 力の図示：物体には、重力 $mg$、垂直抗力 $N$、$F_1$、$F_2$が働く。

* 座標軸：水平右向きを $x$ 軸正方向、鉛直上向きを $y$ 軸正方向とする。

* 力の分解：$F_1$ を $x$ 軸、$y$ 軸方向に分解すると、$F_{1x} = F_1 \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} F_1$、$F_{1y} = F_1 \sin 30^\circ = \frac{1}{2} F_1$。

* 運動方程式（x軸方向）：$ma = \frac{\sqrt{3}}{2} F_1 + F_2$。よって、$a = \frac{\sqrt{3} F_1 + 2F_2}{2m}$。

* 力のつり合い（y軸方向）：$N + \frac{1}{2} F_1 - mg = 0$。よって、$N = mg - \frac{1}{2} F_1$。

**（3）図の場合**

* 力の図示：物体には、重力 $mg$、垂直抗力 $N$、$F_1$、$F_2$が働く。

* 座標軸：水平右向きを $x$ 軸正方向、鉛直上向きを $y$ 軸正方向とする。

* 運動方程式（x軸方向）：$ma = F_1 - F_2$。よって、$a = \frac{F_1 - F_2}{m}$。

* 力のつり合い（y軸方向）：$N - mg = 0$。よって、$N = mg$。

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3. 最終的な答え**

**（1）図の場合：**

* $a = \frac{\sqrt{2}F_1 - 2F_2}{2m}$

* $N = mg - \frac{\sqrt{2}}{2} F_1$

**（2）図の場合：**

* $a = \frac{\sqrt{3} F_1 + 2F_2}{2m}$

* $N = mg - \frac{1}{2} F_1$

**（3）図の場合：**

* $a = \frac{F_1 - F_2}{m}$

* $N = mg$