集合 $X = \{1, 2, 3\}$ に対して、以下の2つの問題を解く。 (1) 全ての $x \in X$ に対して、$f(f(f(x))) = x$ を満たす単射 $f: X \to X$ を全て求める。 (2) 写像 $\alpha: X \to X$ が $\alpha(1) = 1, \alpha(2) = 3, \alpha(3) = 2$ で与えられているとき、$\alpha$ が (1) で求めた写像の合成写像として作れるかどうかを考察する。

1. 問題の内容

集合 $X = \{1, 2, 3\}$ に対して、以下の2つの問題を解く。

(1) 全ての $x \in X$ に対して、$f(f(f(x))) = x$ を満たす単射 $f: X \to X$ を全て求める。

(2) 写像 $\alpha: X \to X$ が $\alpha(1) = 1, \alpha(2) = 3, \alpha(3) = 2$ で与えられているとき、$\alpha$ が (1) で求めた写像の合成写像として作れるかどうかを考察する。

2. 解き方の手順

(1) 単射 $f: X \to X$ は全単射であるから、置換として考えることができる。条件 $f(f(f(x))) = x$ は、$f^3 = id$ を意味する。ここで、$id$ は恒等写像である。

$X$の要素数は3なので、$f$は3次の置換である。3次の置換は恒等置換、$f(x) = x$である$id$と、巡回置換がある。

$f$が恒等写像 $f(x) = x$ である場合、$f(1) = 1$, $f(2) = 2$, $f(3) = 3$ であり、$f(f(f(x))) = x$ を満たす。

$f$が位数2の巡回置換である場合、$f(a) = b$, $f(b) = a$, $f(c) = c$　($a, b, c \in X$)と表せる。

例として、$f(1) = 2$, $f(2) = 1$, $f(3) = 3$の場合、$f(f(f(1))) = f(f(2)) = f(1) = 2$ となり、$f(f(f(1))) = 1$を満たさない。

したがって、この場合では$f(f(f(x))) = x$という条件を満たす$f$とはならない。

$f$が位数3の巡回置換である場合、例えば$f(1) = 2$, $f(2) = 3$, $f(3) = 1$であれば、$f(f(f(1))) = f(f(2)) = f(3) = 1$となり、条件を満たす。

したがって、$f$は恒等写像か、$X$の二つの要素を入れ替える写像になる。

恒等写像は、$f(1) = 1$, $f(2) = 2$, $f(3) = 3$。

2つの要素を入れ替える写像は、

$f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 3$

$f(1) = 3, f(3) = 1, f(2) = 2$

$f(2) = 3, f(3) = 2, f(1) = 1$

(2) 与えられた写像 $\alpha$ は $\alpha(1) = 1$, $\alpha(2) = 3$, $\alpha(3) = 2$ である。これは (1) で求めた $f(2) = 3, f(3) = 2, f(1) = 1$ と一致する。

したがって、$\alpha$ は (1) で求めた写像の一つである。

3. 最終的な答え

(1) 条件を満たす写像 $f$ は以下の4つである。

$f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3$

$f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 3$

$f(1) = 3, f(3) = 1, f(2) = 2$

$f(2) = 3, f(3) = 2, f(1) = 1$

(2) $\alpha$ は (1) で求めた写像の一つである。