1, 2, 3, 4, 5 の数字を使って10桁の整数を作ります。 (1) 各数字を2個ずつ使う場合、作れる整数の個数を求めます。 (2) 1を3個、2を1個、3を3個、4を1個、5を2個使う場合、作れる整数の個数を求めます。

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4, 5 の数字を使って10桁の整数を作ります。

(1) 各数字を2個ずつ使う場合、作れる整数の個数を求めます。

(2) 1を3個、2を1個、3を3個、4を1個、5を2個使う場合、作れる整数の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 各数字を2個ずつ使う場合

10桁の整数を作るので、1, 2, 3, 4, 5 の数字をそれぞれ2個ずつ使います。これは同じものを含む順列の問題として考えることができます。10個のものを並べる順列の総数は $10!$ ですが、同じ数字が2個ずつあるので、それぞれの数字について $2!$ で割る必要があります。したがって、作れる整数の個数は、

$$\frac{10!}{2! \times 2! \times 2! \times 2! \times 2!} = \frac{10!}{32}$$

$$\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{32} = 10 \times 9 \times 7 \times 6 \times 5 \times 3 \times 2 \times 1$$

$$= 113400$$

(2) 1を3個、2を1個、3を3個、4を1個、5を2個使う場合

これも同じものを含む順列の問題として考えます。10個のものを並べる順列の総数は $10!$ です。同じ数字の個数で割る必要があります。1が3個、3が3個、5が2個なので、それぞれ $3!$、$3!$、$2!$ で割ります。したがって、作れる整数の個数は、

$$\frac{10!}{3! \times 1! \times 3! \times 1! \times 2!} = \frac{10!}{3! \times 3! \times 2!}$$

$$\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{6 \times 6 \times 2} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 5 \times 4 \times 1 = 50400$$

$$= 50400$$

3. 最終的な答え

(1) 113400個

(2) 50400個