問題36は、円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=6, CD=5, DA=2であるとき、cos Aの値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題36は、円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=6, CD=5, DA=2であるとき、cos Aの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

円に内接する四角形では、対角の和が180度であるという性質を利用します。つまり、∠A + ∠C = 180° です。したがって、cos C = cos(180° - A) = -cos A となります。

四角形ABCDを、対角線BDで2つの三角形ABDとBCDに分割します。

余弦定理を三角形ABDとBCDに適用して、BDの長さを2通りの式で表し、cos Aを求めます。

まず、三角形ABDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$

$BD^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos A = 9 + 4 - 12 \cos A = 13 - 12 \cos A$

次に、三角形BCDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C$

$BD^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos C = 36 + 25 - 60 \cos C = 61 - 60 \cos C$

ここで、$\cos C = - \cos A$ なので、

$BD^2 = 61 + 60 \cos A$

したがって、

$13 - 12 \cos A = 61 + 60 \cos A$

$-12 \cos A - 60 \cos A = 61 - 13$

$-72 \cos A = 48$

$\cos A = -\frac{48}{72} = -\frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

cos A = -2/3