球Sの球面上に4点A, B, C, Dがある。3点A, B, Cを通る円の中心をPとすると、線分DPはこの円に垂直である。AB = 6, BC = $2\sqrt{5}$, CA = $4\sqrt{2}$, AD = $2\sqrt{15}$のとき、以下の問いに答える。 (1) 三角形ABCの面積を求めよ。 (2) 線分APの長さを求めよ。 (3) 四面体ABCDの体積を求めよ。 (4) 球Sの半径と球Sの表面積を求めよ。

1. 問題の内容

球Sの球面上に4点A, B, C, Dがある。3点A, B, Cを通る円の中心をPとすると、線分DPはこの円に垂直である。AB = 6, BC = $2\sqrt{5}$, CA = $4\sqrt{2}$, AD = $2\sqrt{15}$のとき、以下の問いに答える。

(1) 三角形ABCの面積を求めよ。

(2) 線分APの長さを求めよ。

(3) 四面体ABCDの体積を求めよ。

(4) 球Sの半径と球Sの表面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積を求める。

ヘロンの公式を用いる。$s = \frac{AB+BC+CA}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{5} + 4\sqrt{2}}{2} = 3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2}$

面積Sは、

$S = \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)} = \sqrt{(3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})(-3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})(3 - \sqrt{5} + 2\sqrt{2})(3 + \sqrt{5} - 2\sqrt{2})}$

計算を簡単にするため、余弦定理を用いる。

$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - CA^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{6^2 + (2\sqrt{5})^2 - (4\sqrt{2})^2}{2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{36 + 20 - 32}{24\sqrt{5}} = \frac{24}{24\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

$\sin B = \frac{2}{\sqrt{5}}$ (sinB > 0)

よって、面積Sは

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 12$

(2) 線分APの長さを求める。

三角形ABCの外接円の半径Rを求める。

$R = \frac{CA}{2\sin B} = \frac{4\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}} = \sqrt{10}$

よって、AP = R = $\sqrt{10}$

(3) 四面体ABCDの体積を求める。

DPは円に垂直なので、三角形APDは直角三角形である。

$AD^2 = AP^2 + DP^2$

$(2\sqrt{15})^2 = (\sqrt{10})^2 + DP^2$

$60 = 10 + DP^2$

$DP^2 = 50$

$DP = 5\sqrt{2}$

四面体ABCDの体積Vは、

$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot DP = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$

(4) 球Sの半径と球Sの表面積を求める。

球の中心をOとする。Oから円の中心Pを通る直線上にOがある。

OA = OD = 球の半径Rとする。OP = xとする。

$OA^2 = AP^2 + OP^2$

$R^2 = (\sqrt{10})^2 + x^2 = 10 + x^2$

$OD^2 = DP^2 + OP^2$

$R^2 = (5\sqrt{2})^2 + (R-x)^2$ または $DP = |R-x|$

$R^2 = 50 + (R-x)^2$

$10 + x^2 = 50 + R^2 - 2Rx + x^2$

$10 = 50 + R^2 - 2Rx$

$2Rx = 40 + R^2$

$x = \frac{40 + R^2}{2R}$

$R^2 = 10 + (\frac{40 + R^2}{2R})^2 = 10 + \frac{1600 + 80R^2 + R^4}{4R^2}$

$4R^4 = 40R^2 + 1600 + 80R^2 + R^4$

$3R^4 - 120R^2 - 1600 = 0$

$R^4 - 40R^2 - \frac{1600}{3} = 0$

$R^2 = \frac{40 \pm \sqrt{1600 + \frac{6400}{3}}}{2} = 20 \pm \sqrt{400 + \frac{1600}{3}} = 20 \pm \sqrt{\frac{2800}{3}} = 20 \pm \frac{20\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = 20 \pm \frac{20\sqrt{21}}{3}$

$R^2 > 0$ より $R^2 = 20 + \frac{20\sqrt{21}}{3}$

$R = \sqrt{20 + \frac{20\sqrt{21}}{3}}$

これは正しくなさそう。

再度、DPは円に垂直なので、三角形APDは直角三角形である。

球の中心をOとする。OA = OD = 球の半径rとする。OP = xとする。

OD^2 = DP^2 + OP^2

OA^2 = AP^2 + OP^2

r^2 = (2√15)^2 + (r - h)^2, h = 高さ（円の中心から球の中心の距離)

r^2 = 60 + r^2 -2rh + h^2

2rh = 60 + h^2

球Sの表面積: $4 \pi r^2$

3. 最終的な答え

(1) 三角形ABCの面積：12

(2) 線分APの長さ：$\sqrt{10}$

(3) 四面体ABCDの体積：$20\sqrt{2}$

(4) 球Sの半径と球Sの表面積：半径は不明、表面積は不明