半径が4cm、弧の長さが$6\pi$ cmのおうぎ形の中心角と面積を求めよ。

1. 問題の内容

半径が4cm、弧の長さが$6\pi$ cmのおうぎ形の中心角と面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、おうぎ形の弧の長さの公式を思い出します。

弧の長さ $l$ は、半径を $r$、中心角を $\theta$ (ラジアン) とすると、以下の式で表されます。

$l = r\theta$

この問題では、$r = 4$ cm、$l = 6\pi$ cmなので、

$6\pi = 4\theta$

$\theta = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ (ラジアン)

中心角を度数法で表すには、$\pi$ ラジアンが180°であることから、

$\frac{3\pi}{2} \times \frac{180}{\pi} = \frac{3 \times 180}{2} = 3 \times 90 = 270$ 度

次に、おうぎ形の面積 $S$ を求めます。

おうぎ形の面積は、半径を $r$、中心角を $\theta$ (ラジアン) とすると、以下の式で表されます。

$S = \frac{1}{2}r^2\theta$

この問題では、$r = 4$ cm、$\theta = \frac{3\pi}{2}$ なので、

$S = \frac{1}{2} \times 4^2 \times \frac{3\pi}{2} = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{3\pi}{2} = 8 \times \frac{3\pi}{2} = 4 \times 3\pi = 12\pi$ 平方センチメートル

3. 最終的な答え

中心角: 270度

面積: $12\pi$ cm$^2$