球Sの球面上に4点A, B, C, Dがある。3点A, B, Cを通る円の中心をPとすると、線分DPはこの円に垂直である。AB = 6, BC = $2\sqrt{5}$, CA = $4\sqrt{2}$, AD = $2\sqrt{15}$のとき、次の問いに答えよ。 (1) 三角形ABCの面積を求めよ。 (2) 線分APの長さを求めよ。 (3) 四面体ABCDの体積を求めよ。 (4) 球Sの半径と球Sの表面積を求めよ。

1. 問題の内容

球Sの球面上に4点A, B, C, Dがある。3点A, B, Cを通る円の中心をPとすると、線分DPはこの円に垂直である。AB = 6, BC = $2\sqrt{5}$, CA = $4\sqrt{2}$, AD = $2\sqrt{15}$のとき、次の問いに答えよ。

(1) 三角形ABCの面積を求めよ。

(2) 線分APの長さを求めよ。

(3) 四面体ABCDの体積を求めよ。

(4) 球Sの半径と球Sの表面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積を求める。

余弦定理より

$cos∠ABC = \frac{AB^2 + BC^2 - CA^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{6^2 + (2\sqrt{5})^2 - (4\sqrt{2})^2}{2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{36 + 20 - 32}{24\sqrt{5}} = \frac{24}{24\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$sin∠ABC = \sqrt{1 - cos^2∠ABC} = \sqrt{1 - (\frac{1}{\sqrt{5}})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

三角形ABCの面積は

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sin∠ABC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 12$

(2) 線分APの長さを求める。

三角形ABCの外接円の半径をRとすると、正弦定理より

$\frac{CA}{sin∠ABC} = 2R$

$R = \frac{CA}{2sin∠ABC} = \frac{4\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{4} = \sqrt{10}$

AP = R = $\sqrt{10}$

(3) 四面体ABCDの体積を求める。

線分DPは円に垂直なので、三角形APDは直角三角形である。

$DP = \sqrt{AD^2 - AP^2} = \sqrt{(2\sqrt{15})^2 - (\sqrt{10})^2} = \sqrt{60 - 10} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

四面体ABCDの体積は

$\frac{1}{3} \cdot 三角形ABCの面積 \cdot DP = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$

(4) 球Sの半径と球Sの表面積を求めよ。

球Sの中心をOとすると、OA = OB = OC = OD = r (球の半径)

OPは三角形ABCの外接円の中心なので、OA = OB = OCが成り立つ。

また、DPは三角形ABCを含む平面に垂直なので、OPもその平面に垂直。

したがって、OPDは一直線上にあり、OD = rである。

OP = $|DP - DO| = |DP - \sqrt{r^2 - AP^2}|$

$DP^2 + AP^2 = AD^2$ より $DP = \sqrt{AD^2 - AP^2}$

$OP^2 + AP^2 = r^2$

$r^2 = (5\sqrt{2} - DO)^2 + (\sqrt{10})^2$

$DO^2 + 10 = r^2$

$r^2 = (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot DO + DO^2 + 10$

$DO^2 + 10 = 50 - 10\sqrt{2} \cdot DO + DO^2 + 10$

$10\sqrt{2} \cdot DO = 50$

$DO = \frac{50}{10\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

$r^2 = DO^2 + AP^2 = (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 + (\sqrt{10})^2 = \frac{50}{4} + 10 = \frac{25}{2} + \frac{20}{2} = \frac{45}{2}$

$r = \sqrt{\frac{45}{2}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$

球Sの表面積は $4\pi r^2 = 4\pi \cdot \frac{45}{2} = 90\pi$

3. 最終的な答え

(1) 三角形ABCの面積: 12

(2) 線分APの長さ: $\sqrt{10}$

(3) 四面体ABCDの体積: $20\sqrt{2}$

(4) 球Sの半径: $\frac{3\sqrt{10}}{2}$, 球Sの表面積: $90\pi$