質量30kg、長さ4mの一様な棒が、なめらかな壁とあらい床に立てかけられている。壁からの垂直抗力をR[N]、床からの垂直抗力をN[N]、床からの静止摩擦力をf[N]、重力加速度を9.8m/s^2とする。 (1a) 棒が受ける力をすべて図示する。 (1b) 水平方向の力のつりあいの式を立てる。 (1c) 鉛直方向の力のつりあいの式を立てる。 (1d) B点を軸とした力のモーメントのつりあいの式を立てる。 (1e) R, N, f を数値で表す。 (1f) 棒がすべらないための静止摩擦係数の範囲を答える。

1. 問題の内容

質量30kg、長さ4mの一様な棒が、なめらかな壁とあらい床に立てかけられている。壁からの垂直抗力をR[N]、床からの垂直抗力をN[N]、床からの静止摩擦力をf[N]、重力加速度を9.8m/s^2とする。

(1a) 棒が受ける力をすべて図示する。

(1b) 水平方向の力のつりあいの式を立てる。

(1c) 鉛直方向の力のつりあいの式を立てる。

(1d) B点を軸とした力のモーメントのつりあいの式を立てる。

(1e) R, N, f を数値で表す。

(1f) 棒がすべらないための静止摩擦係数の範囲を答える。

2. 解き方の手順

(1a) 棒が受ける力：

- 重力：棒の中心（長さの中点）に下向きに働く（$mg$）。

- 壁からの垂直抗力：点Aに右向きに働く（$R$）。

- 床からの垂直抗力：点Bに上向きに働く（$N$）。

- 床からの静止摩擦力：点Bに左向きに働く（$f$）。

(1b) 水平方向の力のつりあい：

右向きの力 = 左向きの力

$R = f$

(1c) 鉛直方向の力のつりあい：

上向きの力 = 下向きの力

$N = mg$

(1d) B点を軸とした力のモーメントのつりあい：

反時計回りのモーメント = 時計回りのモーメント

$R \cdot 4\sin(60^\circ) = mg \cdot 2\cos(60^\circ)$

$4R\sin(60^\circ) = 2mg\cos(60^\circ)$

(1e) R, N, f を数値で表す：

$N = mg = 30 \times 9.8 = 294 \, \text{N}$

モーメントの式から $R$ を求める。

$4R\sin(60^\circ) = 2mg\cos(60^\circ)$

$4R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot 30 \cdot 9.8 \cdot \frac{1}{2}$

$2\sqrt{3}R = 294$

$R = \frac{294}{2\sqrt{3}} = \frac{147}{\sqrt{3}} = \frac{147\sqrt{3}}{3} = 49\sqrt{3} \approx 84.87 \, \text{N}$

水平方向の力のつりあいより $f = R$

$f = 49\sqrt{3} \approx 84.87 \, \text{N}$

(1f) 棒がすべらないための静止摩擦係数の範囲：

静止摩擦力 $f$ は最大静止摩擦力以下である必要がある。

$f \le \mu N$

$\mu \ge \frac{f}{N}$

$\mu \ge \frac{49\sqrt{3}}{294} = \frac{\sqrt{3}}{6} \approx 0.289$

3. 最終的な答え

(1a) 力の図は上記参照。

(1b) $R = f$

(1c) $N = mg$

(1d) $4R\sin(60^\circ) = 2mg\cos(60^\circ)$

(1e) $N = 294 \, \text{N}$, $R = 49\sqrt{3} \approx 84.87 \, \text{N}$, $f = 49\sqrt{3} \approx 84.87 \, \text{N}$

(1f) $\mu \ge \frac{\sqrt{3}}{6} \approx 0.289$