与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。5つの異なる漸化式が与えられています。 (1) $a_1 = 7$, $a_{n+1} = a_n - 5$ (2) $a_1 = -2$, $a_{n+1} = 9a_n$ (3) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 3a_n - 4$ (4) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 9 - 2a_n$ (5) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{3} a_n + 2$

以下に、与えられた漸化式の一般項を求めます。

1. 問題の内容

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。5つの異なる漸化式が与えられています。

(1) $a_1 = 7$, $a_{n+1} = a_n - 5$

(2) $a_1 = -2$, $a_{n+1} = 9a_n$

(3) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 3a_n - 4$

(4) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 9 - 2a_n$

(5) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{3} a_n + 2$

2. 解き方の手順

(1) 等差数列: $a_{n+1} = a_n - 5$ は、公差が-5の等差数列です。

$a_n = a_1 + (n-1)d$ の公式を利用します。

(2) 等比数列: $a_{n+1} = 9a_n$ は、公比が9の等比数列です。

$a_n = a_1 r^{n-1}$ の公式を利用します。

(3) $a_{n+1} = 3a_n - 4$ は、特性方程式 $x = 3x - 4$ を解き、$x = 2$ を得ます。

$a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)$ と変形し、$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となり、等比数列の問題に帰着します。

(4) $a_{n+1} = 9 - 2a_n$ は、特性方程式 $x = 9 - 2x$ を解き、$x = 3$ を得ます。

$a_{n+1} - 3 = -2(a_n - 3)$ と変形し、$b_n = a_n - 3$ とおくと、$b_{n+1} = -2b_n$ となり、等比数列の問題に帰着します。

(5) $a_{n+1} = \frac{1}{3} a_n + 2$ は、特性方程式 $x = \frac{1}{3} x + 2$ を解き、$x = 3$ を得ます。

$a_{n+1} - 3 = \frac{1}{3} (a_n - 3)$ と変形し、$b_n = a_n - 3$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{1}{3} b_n$ となり、等比数列の問題に帰着します。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 7 + (n-1)(-5) = 7 - 5n + 5 = 12 - 5n$

(2) $a_n = -2 \cdot 9^{n-1}$

(3) $a_n - 2 = (a_1 - 2) \cdot 3^{n-1} = (5 - 2) \cdot 3^{n-1} = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$

$a_n = 3^n + 2$

(4) $a_n - 3 = (a_1 - 3) \cdot (-2)^{n-1} = (2 - 3) \cdot (-2)^{n-1} = -1 \cdot (-2)^{n-1} = -(-2)^{n-1}$

$a_n = 3 - (-2)^{n-1}$

(5) $a_n - 3 = (a_1 - 3) \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} = (1 - 3) \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} = -2 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$

$a_n = 3 - 2 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$

したがって、各数列の一般項は以下のようになります。

(1) $a_n = 12 - 5n$

(2) $a_n = -2 \cdot 9^{n-1}$

(3) $a_n = 3^n + 2$

(4) $a_n = 3 - (-2)^{n-1}$

(5) $a_n = 3 - 2 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$