$5^{35}$ は何桁の整数か。ただし、$\log_{10}2=0.3010$, $\log_{10}3=0.4771$ とする。

1. 問題の内容

$5^{35}$ は何桁の整数か。ただし、$\log_{10}2=0.3010$, $\log_{10}3=0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

$N = 5^{35}$ とおく。

$N$ の桁数を求めるためには、$\log_{10}N$ の値を計算し、その整数部分に1を加える。

$\log_{10}N = \log_{10}5^{35} = 35 \log_{10}5$

ここで、$5 = \frac{10}{2}$ であるから、

$\log_{10}5 = \log_{10}\frac{10}{2} = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - \log_{10}2$

与えられた値 $\log_{10}2 = 0.3010$ を用いると、

$\log_{10}5 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

したがって、

$\log_{10}N = 35 \log_{10}5 = 35 \times 0.6990 = 24.465$

$\log_{10}N$ の整数部分は24であるから、Nの桁数は $24+1=25$ となる。

3. 最終的な答え

25桁