$(a+b+c)^4$ の展開式における $a^2bc$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(a+b+c)^4$ の展開式における $a^2bc$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項定理を用いることを考えます。多項定理より、$(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n$ の展開式における $x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}$ の項の係数は

$$\frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_m!}$$

で与えられます。ただし、$k_1 + k_2 + \cdots + k_m = n$ を満たす必要があります。

今回は $(a+b+c)^4$ の展開式における $a^2bc$ の項の係数を求めたいので、$n=4$, $x_1=a$, $x_2=b$, $x_3=c$, $k_1=2$, $k_2=1$, $k_3=1$ となります。$k_1+k_2+k_3 = 2+1+1 = 4 = n$ なので、多項定理を適用できます。

したがって、$a^2bc$ の項の係数は

$$\frac{4!}{2!1!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)(1)} = \frac{24}{2} = 12$$

となります。

3. 最終的な答え

12