与えられた式 $x^2 + 4xy + 3y^2 + 2x + 4y + 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 4xy + 3y^2 + 2x + 4y + 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理する。

$x^2 + (4y+2)x + (3y^2 + 4y + 1)$

次に、$3y^2 + 4y + 1$ を因数分解する。

$3y^2 + 4y + 1 = (3y+1)(y+1)$

したがって、$x^2 + (4y+2)x + (3y+1)(y+1)$ は、

$(x + ay + b)(x + cy + d)$ の形に因数分解できると仮定する。

$x^2 + (a+c)xy + acy^2 + (b+d)x + (ad+bc)y + bd$ と比較すると、

$a+c = 4$

$ac = 3$

$b+d = 2$

$ad+bc = 4$

$bd = 1$

$ac = 3$ より、$(a,c) = (1,3)$ または $(3,1)$。

$bd = 1$ より、$(b,d) = (1,1)$。

$(a,c) = (1,3)$ のとき、

$a+c = 1+3 = 4$ を満たす。

$b+d = 1+1 = 2$ を満たす。

$ad+bc = 1\cdot1 + 1\cdot3 = 4$ を満たす。

したがって、$a=1$, $c=3$, $b=1$, $d=1$ であり、

$(x + y + 1)(x + 3y + 1)$ と因数分解できる。

3. 最終的な答え

$(x + y + 1)(x + 3y + 1)$