数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$、$a_{n+1} = 2a_n + 1$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$、$a_{n+1} = 2a_n + 1$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} = 2a_n + 1$ を変形して、等比数列の形に持ち込むことを考えます。特性方程式 $x = 2x + 1$ を解くと、$x = -1$ となります。

そこで、$a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$ と変形します。

この式から、数列 $\{a_n + 1\}$ が公比2の等比数列であることがわかります。初項は $a_1 + 1 = 3 + 1 = 4$ です。したがって、

$$a_n + 1 = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^2 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$$

となります。

よって、$a_n = 2^{n+1} - 1$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n+1} - 1$