問題は、円に関する幾何学の問題で、以下の2つの部分に分かれています。 (1) 点Eの位置によらず、$DE \cdot DF = \frac{\text{ア}}{\text{イウ}}AB^2$ が成り立つことを示す。 (2) $\angle ECB = \alpha, \angle FCB = \beta$ とおき、点Eの位置によらず $\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2}$ の値が一定になることを示す。

1. 問題の内容

問題は、円に関する幾何学の問題で、以下の2つの部分に分かれています。

(1) 点Eの位置によらず、$DE \cdot DF = \frac{\text{ア}}{\text{イウ}}AB^2$ が成り立つことを示す。

(2) $\angle ECB = \alpha, \angle FCB = \beta$ とおき、点Eの位置によらず $\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2}$ の値が一定になることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

点Dは線分ACの中点なので、$AD = DC = \frac{1}{2}AC$ です。また、Cは円の中心なので、$AC = CB = \frac{1}{2}AB$ です。

したがって、$AD = DC = \frac{1}{4}AB$ となります。

方べきの定理より、$DE \cdot DF = DA \cdot DB$ が成り立ちます。

$DA = \frac{1}{4}AB$ であり、$DB = DC + CB = \frac{1}{4}AB + \frac{1}{2}AB = \frac{3}{4}AB$ です。

したがって、$DE \cdot DF = \frac{1}{4}AB \cdot \frac{3}{4}AB = \frac{3}{16}AB^2$ となります。

よって、$DE \cdot DF = \frac{3}{16}AB^2$ となります。

(2)

$\angle \frac{\alpha}{2} = \angle E A C$, $\angle \frac{\beta}{2} = \angle F A C$

したがって、

$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{EC}{AC}= \frac{EC}{EB} \times \frac{EB}{AC} = \frac{E \text{カ}}{E \text{キ}}$

$\tan \frac{\beta}{2} = \frac{FC}{AC}= \frac{FC}{FB} \times \frac{FB}{AC}= \frac{F \text{ク}}{F \text{ケ}}$

また、

$\frac{E \text{カ}}{E \text{キ}} \cdot \frac{F \text{ク}}{F \text{ケ}} = \frac{CD}{CB} = \frac{\frac{1}{4}AB}{\frac{1}{2}AB} = \frac{1}{2}$

$E\text{カ} = EC$, $E\text{キ} = AE$, $F\text{ク} = FC$, $F\text{ケ} = AF$

$\frac{EC}{AE} \cdot \frac{FC}{AF} = \frac{1}{2}$

$\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) ア: 3, イウ: 16

(2) エ: A, オ: A, カ: C, キ: A, ク: C, ケ: A, コ: 1/2

$\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} = \frac{1}{2}$ (一定)