与えられた極方程式 $r = \frac{2}{1-\sqrt{2}\cos\theta}$ を解析し、円錐曲線の種類を特定し、その性質を求めます。

1. 問題の内容

与えられた極方程式 $r = \frac{2}{1-\sqrt{2}\cos\theta}$ を解析し、円錐曲線の種類を特定し、その性質を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた極方程式を直交座標の方程式に変換します。

$r = \frac{2}{1 - \sqrt{2}\cos\theta}$ より、

$r(1 - \sqrt{2}\cos\theta) = 2$

$r - \sqrt{2}r\cos\theta = 2$

ここで、$r = \sqrt{x^2+y^2}$ および $x = r\cos\theta$ を用いて、極座標から直交座標に変換します。

$\sqrt{x^2+y^2} - \sqrt{2}x = 2$

$\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{2}x + 2$

両辺を二乗すると、

$x^2+y^2 = (\sqrt{2}x+2)^2$

$x^2+y^2 = 2x^2 + 4\sqrt{2}x + 4$

$0 = x^2 - y^2 + 4\sqrt{2}x + 4$

この式は、双曲線を表しています。

双曲線を標準形に変形するために、xの項をまとめます。

$x^2 + 4\sqrt{2}x - y^2 = -4$

$(x^2 + 4\sqrt{2}x + 8) - y^2 = -4 + 8$

$(x + 2\sqrt{2})^2 - y^2 = 4$

$\frac{(x + 2\sqrt{2})^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1$

これは、中心が $(-2\sqrt{2}, 0)$ で、横方向に開いた双曲線を表しています。

$a^2 = 4$ より、$a=2$

$b^2 = 4$ より、$b=2$

$c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 4 = 8$

$c = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

焦点は $(-2\sqrt{2} \pm 2\sqrt{2}, 0)$ となり、すなわち $(0,0)$ および $(-4\sqrt{2},0)$ です。

3. 最終的な答え

この極方程式は双曲線を表し、その直交座標の方程式は $\frac{(x + 2\sqrt{2})^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1$ です。