関数 $f(x)$ が次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{3} + x^2 \cos(\frac{1}{x}), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ このとき、以下の問いに答えます。 (1) $f'(0)$ を求めよ。 (2) $f'(x)$ は $x=0$ で連続ではないことを証明せよ。 (3) 任意の $\delta > 0$ に対して、$f(x)$ は $(0, \delta)$ で単調増加ではないことを証明せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases}

\frac{x}{3} + x^2 \cos(\frac{1}{x}), & x \neq 0 \\

0, & x = 0

\end{cases}$

このとき、以下の問いに答えます。

(1) $f'(0)$ を求めよ。

(2) $f'(x)$ は $x=0$ で連続ではないことを証明せよ。

(3) 任意の $\delta > 0$ に対して、$f(x)$ は $(0, \delta)$ で単調増加ではないことを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $f'(0)$ を求める。

定義に従い、$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$ を計算します。

$f(0) = 0$ なので、

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{3} + h^2 \cos(\frac{1}{h})}{h} = \lim_{h \to 0} (\frac{1}{3} + h \cos(\frac{1}{h}))$

$|h \cos(\frac{1}{h})| \leq |h|$ であり、$h \to 0$ のとき $|h| \to 0$ なので、$\lim_{h \to 0} h \cos(\frac{1}{h}) = 0$ です。

したがって、$f'(0) = \frac{1}{3}$ です。

(2) $f'(x)$ が $x=0$ で連続ではないことを証明する。

まず、$x \neq 0$ での $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{d}{dx} (\frac{x}{3} + x^2 \cos(\frac{1}{x})) = \frac{1}{3} + 2x \cos(\frac{1}{x}) + x^2 (-\sin(\frac{1}{x})) (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{3} + 2x \cos(\frac{1}{x}) + \sin(\frac{1}{x})$

$f'(x) = \begin{cases}

\frac{1}{3} + 2x \cos(\frac{1}{x}) + \sin(\frac{1}{x}), & x \neq 0 \\

\frac{1}{3}, & x = 0

\end{cases}$

次に、$x \to 0$ のとき $f'(x)$ が $\frac{1}{3}$ に収束しないことを示す。

$\lim_{x \to 0} 2x \cos(\frac{1}{x}) = 0$ です。

しかし、$\lim_{x \to 0} \sin(\frac{1}{x})$ は存在しません。

したがって、$\lim_{x \to 0} f'(x)$ は存在しないので、$f'(x)$ は $x=0$ で連続ではありません。

(3) 任意の $\delta > 0$ に対して、$f(x)$ は $(0, \delta)$ で単調増加ではないことを証明する。

$f(x)$ が $(0, \delta)$ で単調増加であると仮定すると、$f'(x) \geq 0$ が $(0, \delta)$ で成り立つ必要があります。

しかし、$f'(x) = \frac{1}{3} + 2x \cos(\frac{1}{x}) + \sin(\frac{1}{x})$ であり、$x$ が十分小さいとき、$\sin(\frac{1}{x})$ の値は $-1$ から $1$ の間で振動します。

特に、$f'(x)$ が負になるような $x$ が $(0, \delta)$ に存在することを示します。

$x_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{3\pi}{2}}$ とすると、$\sin(\frac{1}{x_n}) = \sin(2n\pi + \frac{3\pi}{2}) = -1$ です。

また、$x_n \to 0$ ($n \to \infty$) です。

$f'(x_n) = \frac{1}{3} + 2x_n \cos(2n\pi + \frac{3\pi}{2}) - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3} < 0$

したがって、任意の $\delta > 0$ に対して、$f'(x) < 0$ となる $x_n \in (0, \delta)$ が存在するため、$f(x)$ は $(0, \delta)$ で単調増加ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $f'(0) = \frac{1}{3}$

(2) $f'(x)$ は $x=0$ で連続ではない。

(3) 任意の $\delta > 0$ に対して、$f(x)$ は $(0, \delta)$ で単調増加ではない。