関数 $y = -\frac{x^2 - 7}{x - 4}$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点および漸近線の有無を調べて、そのグラフを描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -\frac{x^2 - 7}{x - 4}$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点および漸近線の有無を調べて、そのグラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 定義域：

分母が $x - 4$ なので、$x \neq 4$。定義域は $x < 4$ および $x > 4$。

(2) 導関数 $y'$ を求める：

$y = -\frac{x^2 - 7}{x - 4}$ を微分する。商の微分公式を使う。

$y' = -\frac{(2x)(x - 4) - (x^2 - 7)(1)}{(x - 4)^2} = -\frac{2x^2 - 8x - x^2 + 7}{(x - 4)^2} = -\frac{x^2 - 8x + 7}{(x - 4)^2} = -\frac{(x - 1)(x - 7)}{(x - 4)^2}$

(3) $y' = 0$ となる $x$ を求める：

$y' = 0$ となるのは、$x = 1$ と $x = 7$。

(4) 第二次導関数 $y''$ を求める：

$y' = -\frac{x^2 - 8x + 7}{(x - 4)^2}$ を微分する。

$y'' = -\frac{(2x - 8)(x - 4)^2 - (x^2 - 8x + 7)(2(x - 4))}{(x - 4)^4} = -\frac{(2x - 8)(x - 4) - 2(x^2 - 8x + 7)}{(x - 4)^3} = -\frac{2x^2 - 16x + 32 - 2x^2 + 16x - 14}{(x - 4)^3} = -\frac{18}{(x - 4)^3}$

(5) $y'' = 0$ となる $x$ を求める：

$y'' = 0$ となる $x$ は存在しない。

(6) 増減表を作成する：

| x | ... | 1 | ... | 4 | ... | 7 | ... |

| :----- | :---: | :-: | :---: | :-: | :---: | :-: | :---: |

| y' | - | 0 | + | undef | + | 0 | - |

| y'' | + | + | + | undef | - | - | - |

| y | ↘ | 2 | ↗ | undef | ↗ | -18 | ↘ |

(7) 極値を求める：

$x = 1$ のとき、極小値 $y = -\frac{1^2 - 7}{1 - 4} = -\frac{-6}{-3} = 2$。

$x = 7$ のとき、極大値 $y = -\frac{7^2 - 7}{7 - 4} = -\frac{42}{3} = -14$。

(8) 漸近線を求める：

$x = 4$ のとき、分母が 0 になるので、垂直漸近線は $x = 4$。

斜め漸近線を求める。

$y = -\frac{x^2 - 7}{x - 4} = -\frac{(x - 4)(x + 4) + 9}{x - 4} = -(x + 4) - \frac{9}{x - 4} = -x - 4 - \frac{9}{x - 4}$

$x \to \pm \infty$ のとき、$\frac{9}{x - 4} \to 0$ なので、斜め漸近線は $y = -x - 4$。

(9) グラフを描く：

上記の情報をもとにグラフを描く。極小値$(1, 2)$、極大値$(7, -14)$、漸近線 $x = 4$ と $y = -x - 4$ を考慮してグラフを描く。

3. 最終的な答え

- 極小値: $x = 1$ で $y = 2$

- 極大値: $x = 7$ で $y = -14$

- 垂直漸近線: $x = 4$

- 斜め漸近線: $y = -x - 4$

- 変曲点: なし

- グラフ: 上記の情報を元にグラフを描く。