問題１は、2つの二次方程式 $x^2 + kx + \frac{k}{4} + 3 = 0$ （①） $x^2 - 2kx + k + 6 = 0$ （②） について、以下の問いに答える問題です。 (1) ①が異なる2つの実数解をもつときの $k$ の範囲を求めよ。 (2) ②が正と負の解をもつときの $k$ の範囲を求めよ。 (3) ①が異なる2つの正の解をもち、②が異なる2つの負の解をもつときの $k$ の範囲を求めよ。 問題２は、2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $x^2 + mx + m < 0$ が実数の解をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。 (2) $x^2 + mx + m < 0$ の解が区間 $0 \leq x \leq 1$ を含むような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

問題１は、2つの二次方程式

$x^2 + kx + \frac{k}{4} + 3 = 0$ （①）

$x^2 - 2kx + k + 6 = 0$ （②）

について、以下の問いに答える問題です。

(1) ①が異なる2つの実数解をもつときの $k$ の範囲を求めよ。

(2) ②が正と負の解をもつときの $k$ の範囲を求めよ。

(3) ①が異なる2つの正の解をもち、②が異なる2つの負の解をもつときの $k$ の範囲を求めよ。

問題２は、2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $x^2 + mx + m < 0$ が実数の解をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

(2) $x^2 + mx + m < 0$ の解が区間 $0 \leq x \leq 1$ を含むような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

問題１

(1)

①が異なる2つの実数解をもつためには、判別式 $D_1 > 0$ であればよい。

$D_1 = k^2 - 4(\frac{k}{4} + 3) = k^2 - k - 12 > 0$

$(k-4)(k+3) > 0$

よって、$k < -3$ または $k > 4$

(2)

②が正と負の解をもつためには、解と係数の関係より、解の積が負であればよい。

$x^2 - 2kx + k + 6 = 0$ の解の積は $k+6$ なので、

$k + 6 < 0$

よって、$k < -6$

(3)

①が異なる2つの正の解をもつためには、

(i) 判別式 $D_1 > 0$

(ii) 解の和 $> 0$

(iii) 解の積 $> 0$

である必要がある。

(i) は (1) より、$k < -3$ または $k > 4$

(ii) 解の和は $-k$ なので、$-k > 0$ より $k < 0$

(iii) 解の積は $\frac{k}{4} + 3$ なので、$\frac{k}{4} + 3 > 0$ より $k > -12$

(i), (ii), (iii) を満たす $k$ の範囲は $-12 < k < -3$

②が異なる2つの負の解をもつためには、

(i) 判別式 $D_2 > 0$

(ii) 解の和 $< 0$

(iii) 解の積 $> 0$

である必要がある。

$D_2 = (-2k)^2 - 4(k+6) = 4k^2 - 4k - 24 = 4(k^2 - k - 6) = 4(k-3)(k+2) > 0$

より、$k < -2$ または $k > 3$

(ii) 解の和は $2k$ なので、$2k < 0$ より $k < 0$

(iii) 解の積は $k + 6$ なので、$k + 6 > 0$ より $k > -6$

(i), (ii), (iii) を満たす $k$ の範囲は $-6 < k < -2$

①と②を両方満たす $k$ の範囲は、共通部分を考える。

$-12 < k < -3$ と $-6 < k < -2$ の共通範囲は $-6 < k < -3$

問題２

(1)

$x^2 + mx + m < 0$ が実数の解をもたないということは、$x^2 + mx + m = 0$ が実数解を持たない、または重解を持つことを意味する。よって判別式 $D \leq 0$

$D = m^2 - 4m \leq 0$

$m(m - 4) \leq 0$

よって、$0 \leq m \leq 4$

(2)

$f(x) = x^2 + mx + m$ とおく。

$x^2 + mx + m < 0$ の解が区間 $0 \leq x \leq 1$ を含むためには、少なくとも $f(x) = 0$ が $0 \leq x \leq 1$ に解を持つ必要がある。

(i) $f(0) \leq 0$ かつ $f(1) \leq 0$ の場合

$f(0) = m \leq 0$

$f(1) = 1 + m + m = 2m + 1 \leq 0$

よって、$m \leq -\frac{1}{2}$

$f(x) = x^2 + mx + m = (x + \frac{m}{2})^2 - \frac{m^2}{4} + m$

軸 $x = -\frac{m}{2}$

(ii) $0 \leq -\frac{m}{2} \leq 1$ のとき、すなわち $-2 \leq m \leq 0$ のとき

$f(0) \leq 0$ または $f(1) \leq 0$ であれば条件を満たす。

$m \leq 0$ は既にわかっているので、$f(x) = 0$ が $0 \leq x \leq 1$ に解を持つ場合を考える。

$f(0)f(1) \leq 0$ であればよい。

$m(2m + 1) \leq 0$

$-\frac{1}{2} \leq m \leq 0$

(iii) 判別式 $D = m^2 - 4m > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$m < 0$ または $m > 4$

解を $\alpha, \beta$ とすると $\alpha < 0 < 1 < \beta$ または $\alpha < 0 < \beta < 1$ または $0 < \alpha < 1 < \beta$

のいずれかを満たせばよい。

上記(i), (ii), (iii) を考慮すると、$-\frac{1}{2} \leq m \leq 0$ または $m>4$ を満たす必要がある。

3. 最終的な答え

問題１

(1) $k < -3$ または $k > 4$

(2) $k < -6$

(3) $-6 < k < -3$

問題２

(1) $0 \leq m \leq 4$

(2) $m \leq -\frac{1}{2}$