(1) 分母が5で0より大きく40以下の分数について考える。まず、分母が5で分子が自然数の分数を小さい方から並べた数列の和 $T$ を求める。次に、その数列の中で既約分数でないものを取り出して並べた数列の和 $U$ を求める。最後に、分母が5で0より大きく40以下の既約分数の総和 $S$ を求める。 (2) 数列 $\frac{1}{1}, \frac{1+9}{1+3}, \frac{1+9+9^2}{1+3+3^2}, \frac{1+9+9^2+9^3}{1+3+3^2+3^3}, \dots$ の第 $n$ 項を求め、初項から第6項までの和を求める。

1. 問題の内容

(1) 分母が5で0より大きく40以下の分数について考える。まず、分母が5で分子が自然数の分数を小さい方から並べた数列の和 $T$ を求める。次に、その数列の中で既約分数でないものを取り出して並べた数列の和 $U$ を求める。最後に、分母が5で0より大きく40以下の既約分数の総和 $S$ を求める。

(2) 数列 $\frac{1}{1}, \frac{1+9}{1+3}, \frac{1+9+9^2}{1+3+3^2}, \frac{1+9+9^2+9^3}{1+3+3^2+3^3}, \dots$ の第 $n$ 項を求め、初項から第6項までの和を求める。

2. 解き方の手順

(1)

- 分母が5で0より大きく40以下の分数の分子は1から199までの整数である。

- よって、分母が5で分子が自然数の数列は、初項が $\frac{1}{5}$、公差が $\frac{1}{5}$、項数が199の等差数列である。

- 等差数列の和の公式 $T = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ より、$T = \frac{199(\frac{1}{5} + \frac{199}{5})}{2} = \frac{199 \cdot \frac{200}{5}}{2} = \frac{199 \cdot 40}{2} = 199 \cdot 20 = 3980$

- 分母が5で既約分数でないものは、分子が5の倍数であるもの。つまり、$\frac{5}{5}, \frac{10}{5}, \dots, \frac{195}{5}$ である。

- これは初項が $\frac{5}{5} = 1$、公差が $\frac{5}{5} = 1$、項数が $\frac{195}{5} = 39$ の等差数列である。

- 等差数列の和の公式 $U = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ より、$U = \frac{39(1 + 39)}{2} = \frac{39 \cdot 40}{2} = 39 \cdot 20 = 780$

- 求める既約分数の総和 $S$ は $T - U$ であるから、$S = 3980 - 780 = 3200$

(2)

- 数列の第 $n$ 項は $\frac{1+9+9^2+\dots+9^{n-1}}{1+3+3^2+\dots+3^{n-1}} = \frac{\sum_{k=0}^{n-1} 9^k}{\sum_{k=0}^{n-1} 3^k}$

- 等比数列の和の公式 $\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \frac{r^n - 1}{r - 1}$ を使うと、

$\frac{\frac{9^n - 1}{9 - 1}}{\frac{3^n - 1}{3 - 1}} = \frac{\frac{9^n - 1}{8}}{\frac{3^n - 1}{2}} = \frac{9^n - 1}{8} \cdot \frac{2}{3^n - 1} = \frac{9^n - 1}{4(3^n - 1)} = \frac{(3^n - 1)(3^n + 1)}{4(3^n - 1)} = \frac{3^n + 1}{4}$

- 初項から第6項までの和は、$\sum_{n=1}^6 \frac{3^n + 1}{4} = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^6 (3^n + 1) = \frac{1}{4} (\sum_{n=1}^6 3^n + \sum_{n=1}^6 1)$

- $\sum_{n=1}^6 3^n = \frac{3(3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{3(729 - 1)}{2} = \frac{3 \cdot 728}{2} = 3 \cdot 364 = 1092$

- $\sum_{n=1}^6 1 = 6$

- よって、$\frac{1}{4}(1092 + 6) = \frac{1098}{4} = \frac{549}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

ア：1

イ：5

ウエオ：199

カキクケ：3980

コ：1

サ：1

シス：39

セソタ：780

チツテト：3200

(2)

第n項：$\frac{3^n+1}{4}$

初項から第6項までの和：$\frac{549}{2}$