座標空間上に2点 $A(1, 2, 0)$ と $B(2, 3, -1)$ がある。この2点を通る直線を $l$ とする。点 $P$ の座標は $P(t, -t, 3t)$ である。直線 $l$ 上に点 $Q$ を、線分 $PQ$ と直線 $l$ が直交するようにとる。 (ア) 点 $Q$ の座標を $t$ を用いて表せ。 (イ) $t$ を変化させるとき、線分 $PQ$ の長さが最小となるような $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

座標空間上に2点 $A(1, 2, 0)$ と $B(2, 3, -1)$ がある。この2点を通る直線を $l$ とする。点 $P$ の座標は $P(t, -t, 3t)$ である。直線 $l$ 上に点 $Q$ を、線分 $PQ$ と直線 $l$ が直交するようにとる。

(ア) 点 $Q$ の座標を $t$ を用いて表せ。

(イ) $t$ を変化させるとき、線分 $PQ$ の長さが最小となるような $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(ア)

まず、直線 $l$ の方向ベクトル $\vec{d}$ を求める。$\vec{d} = \vec{AB} = (2-1, 3-2, -1-0) = (1, 1, -1)$

直線 $l$ 上の点 $Q$ は、ある実数 $s$ を用いて、

$\vec{OQ} = \vec{OA} + s\vec{d} = (1, 2, 0) + s(1, 1, -1) = (1+s, 2+s, -s)$ と表せる。

つまり、$Q(1+s, 2+s, -s)$。

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (1+s-t, 2+s+t, -s-3t)$

$\vec{PQ}$ と $\vec{d}$ が直交するので、$\vec{PQ} \cdot \vec{d} = 0$

$(1+s-t)(1) + (2+s+t)(1) + (-s-3t)(-1) = 0$

$1+s-t+2+s+t+s+3t=0$

$3s+3+3t=0$

$3s = -3 - 3t$

$s = -1 - t$

よって、$Q(1+(-1-t), 2+(-1-t), -(-1-t)) = Q(-t, 1-t, 1+t)$

(イ)

線分 $PQ$ の長さを求める。

$\vec{PQ} = (-t-t, 1-t+t, 1+t-3t) = (-2t, 1, 1-2t)$

$|PQ|^2 = (-2t)^2 + 1^2 + (1-2t)^2 = 4t^2 + 1 + 1 - 4t + 4t^2 = 8t^2 - 4t + 2$

$|PQ|^2$ を最小にする $t$ を求めるために、平方完成する。

$8t^2 - 4t + 2 = 8(t^2 - \frac{1}{2}t) + 2 = 8(t^2 - \frac{1}{2}t + \frac{1}{16}) - 8(\frac{1}{16}) + 2 = 8(t - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{2} + 2 = 8(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{3}{2}$

$|PQ|^2$ が最小となるのは $t = \frac{1}{4}$ のとき。

したがって、$|PQ|$ が最小となるのも $t = \frac{1}{4}$ のとき。

3. 最終的な答え

(ア) $Q(-t, 1-t, 1+t)$

(イ) $t = \frac{1}{4}$