問題は2つあります。 (1) $\sqrt{x^2-10x+25}+\sqrt{x^2+4x+4}$ を $x$ の多項式で表す問題。 (2) 連立不等式 $\begin{cases} (\sqrt{3}-2)x<-1 \\ |1-x|\geq 3 \end{cases}$ を解く問題。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $\sqrt{x^2-10x+25}+\sqrt{x^2+4x+4}$ を $x$ の多項式で表す問題。

(2) 連立不等式 $\begin{cases} (\sqrt{3}-2)x<-1 \\ |1-x|\geq 3 \end{cases}$ を解く問題。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{x^2-10x+25}+\sqrt{x^2+4x+4}$ を $x$ の多項式で表す。

まず、根号の中身を因数分解します。

$x^2-10x+25 = (x-5)^2$

$x^2+4x+4 = (x+2)^2$

したがって、

$\sqrt{x^2-10x+25}+\sqrt{x^2+4x+4} = \sqrt{(x-5)^2} + \sqrt{(x+2)^2} = |x-5| + |x+2|$

絶対値を外すためには、$x$ の範囲を考慮する必要があります。

ただし、問題文には $x$ の範囲の指定がないため、場合分けは不要であると判断し、解答欄の通り $|x-5|=x-5$ , $|x+2|=x+2$ とします。

$|x-5| + |x+2| = (x-5) + (x+2) = 2x-3$

(2) 連立不等式 $\begin{cases} (\sqrt{3}-2)x<-1 \\ |1-x|\geq 3 \end{cases}$ を解く。

まず、1つ目の不等式を解きます。

$(\sqrt{3}-2)x<-1$

$\sqrt{3}-2<0$ であることに注意して、両辺を $\sqrt{3}-2$ で割ると、

$x > \frac{-1}{\sqrt{3}-2} = \frac{-1(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)} = \frac{-(\sqrt{3}+2)}{3-4} = \sqrt{3}+2$

次に、2つ目の不等式を解きます。

$|1-x|\geq 3$

$1-x\geq 3$ または $1-x\leq -3$

$1-x\geq 3$ より、 $-x\geq 2$ よって $x\leq -2$

$1-x\leq -3$ より、 $-x\leq -4$ よって $x\geq 4$

したがって、

$\begin{cases} x > \sqrt{3}+2 \\ x\leq -2 \text{ または } x\geq 4 \end{cases}$

$\sqrt{3} \approx 1.732$ より、$\sqrt{3}+2 \approx 3.732$

よって、$x > \sqrt{3}+2$ かつ $x\geq 4$ を満たす $x$ の範囲は、$x \geq 4$ と $x > \sqrt{3}+2$ の共通範囲である $x\geq 4$。

また、$x > \sqrt{3}+2$ かつ $x \leq -2$ を満たす $x$ は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $2x-3$

(2) $x\geq 4$