2つの等差数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ がある。数列 $\{a_n\}$ の初項は $a_1 = 2$ であり、末項は $a_{100} = 299$ である。数列 $\{b_n\}$ の初項は $b_1 = 110$ であり、初項から第56項までの和が0である。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の公差 $d_a$ を求め、この数列の初項から末項までの和 $S$ を求め、また、$T = \sum_{k=1}^{99} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$ の値を求める。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の公差 $d_b$ を求め、数列 $\{b_n\}$ の初項から第$n$項までの和を $U_n$ とするとき、$U_n$ の最大値を求め、等差数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の両方に現れる数の総和 $V$ を求める。

## 数学の問題

1. 問題の内容

2つの等差数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ がある。数列 $\{a_n\}$ の初項は $a_1 = 2$ であり、末項は $a_{100} = 299$ である。数列 $\{b_n\}$ の初項は $b_1 = 110$ であり、初項から第56項までの和が0である。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の公差 $d_a$ を求め、この数列の初項から末項までの和 $S$ を求め、また、$T = \sum_{k=1}^{99} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$ の値を求める。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の公差 $d_b$ を求め、数列 $\{b_n\}$ の初項から第$n$項までの和を $U_n$ とするとき、$U_n$ の最大値を求め、等差数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の両方に現れる数の総和 $V$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ について

$a_n = a_1 + (n-1)d_a$ より、$a_{100} = a_1 + 99d_a$ である。

$299 = 2 + 99d_a$

$99d_a = 297$

$d_a = 3$

数列 $\{a_n\}$ の初項から末項までの和 $S$ は、等差数列の和の公式より

$S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

$S = \frac{100(2 + 299)}{2} = \frac{100 \times 301}{2} = 50 \times 301 = 15050$

$T = \sum_{k=1}^{99} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$

$\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d_a} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right)$ を利用する。

$T = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{99} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right)$

$T = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{100}} \right)$

$T = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{299} \right)$

$T = \frac{1}{3} \left( \frac{299 - 2}{2 \times 299} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{297}{598} \right) = \frac{99}{598}$

(2) 数列 $\{b_n\}$ について

初項から第56項までの和が0であるので、

$\frac{56}{2}(2b_1 + (56-1)d_b) = 0$

$2b_1 + 55d_b = 0$

$2(110) + 55d_b = 0$

$220 + 55d_b = 0$

$55d_b = -220$

$d_b = -4$

$U_n = \frac{n}{2}(2b_1 + (n-1)d_b) = \frac{n}{2}(2(110) + (n-1)(-4)) = \frac{n}{2}(220 - 4n + 4) = \frac{n}{2}(224 - 4n) = n(112 - 2n) = -2n^2 + 112n = -2(n^2 - 56n) = -2((n-28)^2 - 28^2) = -2(n-28)^2 + 2(28^2) = -2(n-28)^2 + 2(784) = -2(n-28)^2 + 1568$

$U_n$ は $n = 28$ で最大値 $1568$ をとる。

$\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の共通項を求める。

$a_n = 2 + (n-1)3 = 3n - 1$

$b_m = 110 + (m-1)(-4) = 114 - 4m$

$3n - 1 = 114 - 4m$

$3n + 4m = 115$

$n = \frac{115 - 4m}{3}$

$n$ は整数であるから、$115 - 4m$ は3の倍数でなければならない。

$115 - 4m \equiv 0 \pmod{3}$

$1 - m \equiv 0 \pmod{3}$

$m \equiv 1 \pmod{3}$

$m = 1, 4, 7, \dots$

$a_n$ の項は $2 \le a_n \le 299$ であるから $2 \le 3n-1 \le 299$

$3 \le 3n \le 300$

$1 \le n \le 100$

$b_m = 114 - 4m$

$a_1 = 2 = b_{28}$ のとき $3n-1=2 , n=1$ は $a_n$の項に含まれる

$m = 1, b_1 = 110, 3n-1 = 110, 3n = 111, n = 37$, よって、$a_{37} = b_1 = 110$ は共通項である。

$m = 4, b_4 = 114 - 4(4) = 98, 3n-1 = 98, 3n = 99, n = 33$, よって、$a_{33} = b_4 = 98$ は共通項である。

$m = 7, b_7 = 114 - 4(7) = 86, 3n-1 = 86, 3n = 87, n = 29$, よって、$a_{29} = b_7 = 86$ は共通項である。

$m = 10, b_{10} = 114 - 4(10) = 74, 3n-1 = 74, 3n = 75, n = 25$, よって、$a_{25} = b_{10} = 74$ は共通項である。

$m = 13, b_{13} = 114 - 4(13) = 62, 3n-1 = 62, 3n = 63, n = 21$, よって、$a_{21} = b_{13} = 62$ は共通項である。

$m = 16, b_{16} = 114 - 4(16) = 50, 3n-1 = 50, 3n = 51, n = 17$, よって、$a_{17} = b_{16} = 50$ は共通項である。

$m = 19, b_{19} = 114 - 4(19) = 38, 3n-1 = 38, 3n = 39, n = 13$, よって、$a_{13} = b_{19} = 38$ は共通項である。

$m = 22, b_{22} = 114 - 4(22) = 26, 3n-1 = 26, 3n = 27, n = 9$, よって、$a_9 = b_{22} = 26$ は共通項である。

$m = 25, b_{25} = 114 - 4(25) = 14, 3n-1 = 14, 3n = 15, n = 5$, よって、$a_5 = b_{25} = 14$ は共通項である。

$m = 28, b_{28} = 114 - 4(28) = 2, 3n-1 = 2, 3n = 3, n = 1$, よって、$a_1 = b_{28} = 2$ は共通項である。

$m=31, b_{31} = 114 - 4(31) = -10$, これは$a_n$の範囲に含まれない。

共通項は $2, 14, 26, 38, 50, 62, 74, 86, 98, 110$ の10個である。

$V = 2+14+26+38+50+62+74+86+98+110 = 560$

3. 最終的な答え

(1) 公差: 3, 和: 15050, T: 99/598

(2) 公差: -4, 最大値: 1568, 和: 560