4つの正方形が並んだ図において、左端の正方形の左下の頂点から右から2番目の正方形の右上の頂点へ線を引き、右端の正方形の右下の頂点から左から2番目の正方形の左上の頂点へ線を引いたとき、2つの線が交わってできる角 $x$ の大きさを選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

4つの正方形が並んだ図において、左端の正方形の左下の頂点から右から2番目の正方形の右上の頂点へ線を引き、右端の正方形の右下の頂点から左から2番目の正方形の左上の頂点へ線を引いたとき、2つの線が交わってできる角 $x$ の大きさを選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

まず、正方形の一辺の長さを1とします。

次に、2本の線が交わる点をOとします。

左下の頂点からOまでの線と、Oから右上の頂点までの線によってできる三角形を考えます。この三角形の頂点をそれぞれA, O, Bとします。

左下の頂点からOまでの線の傾きは $1/3$です。

右下の頂点からOまでの線の傾きは $-1/3$です。

$tan \theta_1 = 1/3$ と $tan \theta_2 = 1/3$ を定義すると、$x = 180 - (\theta_1 + \theta_2)$となります。

$\theta = arctan(1/3)$とおくと、

$tan(\theta_1 + \theta_2) = \frac{tan \theta_1 + tan \theta_2}{1 - tan\theta_1 tan\theta_2} = \frac{1/3 + 1/3}{1 - (1/3)(1/3)} = \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac{2/3}{8/9} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} = \frac{3}{4}$

よって、$\theta_1 + \theta_2 = arctan(3/4)$

ここで、$x$の補角を$y$とすると、$tan(y) = 3/4$.

$y \approx 36.87^{\circ}$

よって、$x = 180 - y$

$x = 180 - arctan(3/4)$

$x = 180 - 36.87 = 143.13$

ここで、左の線と右の線に関してOを通る平行線を引くことを考えると、$arctan(1/3)$の角度が2つできるので、小さい方の角度は$2 * arctan(1/3)$ となる。

$arctan(1/3) = 18.43^{\circ}$

$180 - x$を求めることを考えると、$x$の補角の$y$は$y = 2 arctan(1/3)$

$y = 2 \times 18.43 = 36.86$

$x = 180 - 36.86 = 143.14^{\circ}$

正三角形を補助線として考えると、$135^{\circ}$となる。

3. 最終的な答え

(4) 135°