半径 $r$ の円 $O_1$ と半径 $3r$ の円 $O_2$ の中心間の距離が $12$ であるとき、円 $O_1$ と $O_2$ が2点で交わるような $r$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円 $O_1$ と半径 $3r$ の円 $O_2$ の中心間の距離が $12$ であるとき、円 $O_1$ と $O_2$ が2点で交わるような $r$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

二つの円が2点で交わる条件は、中心間の距離が2つの円の半径の和よりも小さく、差よりも大きいことです。

中心間の距離は $12$ で、半径は $r$ と $3r$ なので、以下の不等式が成り立ちます。

$|3r - r| < 12 < 3r + r$

これを解きます。

$|2r| < 12$ より、

$-12 < 2r < 12$

$-6 < r < 6$

$12 < 4r$ より、

$3 < r$

したがって、$3 < r < 6$ となります。

3. 最終的な答え

$3 < r < 6$