(1) 0でない2つのベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2)$ と $\vec{b} = (a_2, -a_1)$ が垂直であることを示す。 (2) (1)を利用して、$\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 0でない2つのベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2)$ と $\vec{b} = (a_2, -a_1)$ が垂直であることを示す。

(2) (1)を利用して、$\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つのベクトルが垂直であるためには、内積が0になることを示せばよい。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1a_2 + a_2(-a_1) = a_1a_2 - a_1a_2 = 0$

したがって、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は垂直である。

(2) (1)を利用する。$\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ に垂直なベクトル $\vec{b}$ は、$\vec{b} = (1, -\sqrt{3})$ となる。

次に、$\vec{b}$ を単位ベクトルにする。

$\vec{b}$ の大きさは、$\| \vec{b} \| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

したがって、$\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ は、

$\vec{e} = \pm \frac{1}{2} (1, -\sqrt{3}) = \pm (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ であるため、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は垂直である。

(2) $\vec{e} = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ または $\vec{e} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$