a, bは実数、m, nは自然数とする。次の各問題について、空欄に「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要十分条件である」のうち、適する言葉を入れよ。 (1) 四角形ABCD が長方形であることは、四角形ABCD が平行四辺形であるための何か。 (2) $a > b$ は、$2a + 1 > 2b + 1$ であるための何か。 (3) 積 $mn$ が偶数であることは、$m$ が偶数であるための何か。

1. 問題の内容

a, bは実数、m, nは自然数とする。次の各問題について、空欄に「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要十分条件である」のうち、適する言葉を入れよ。

(1) 四角形ABCD が長方形であることは、四角形ABCD が平行四辺形であるための何か。

(2) $a > b$ は、$2a + 1 > 2b + 1$ であるための何か。

(3) 積 $mn$ が偶数であることは、$m$ が偶数であるための何か。

2. 解き方の手順

(1) 長方形ならば平行四辺形である。しかし、平行四辺形が長方形とは限らない（例えばひし形）。よって、長方形であることは、平行四辺形であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

(2) $a > b$ ならば、$2a > 2b$ であり、$2a + 1 > 2b + 1$ である。逆に、$2a + 1 > 2b + 1$ ならば、$2a > 2b$ であり、$a > b$ である。よって、$a > b$ は、$2a + 1 > 2b + 1$ であるための必要十分条件である。

(3) 積 $mn$ が偶数であることは、$m$ が偶数であるための必要条件ではない。例えば、$m$ が奇数、$n$ が偶数でも、$mn$ は偶数になる。しかし、$m$ が偶数ならば、$mn$ は必ず偶数になるので、$mn$ が偶数であるための十分条件である。したがって、$mn$ が偶数であることは、$m$ が偶数であるための十分条件であるが必要条件ではない。

3. 最終的な答え

(1) 十分条件であるが必要条件ではない

(2) 必要十分条件である

(3) 十分条件であるが必要条件ではない