$\triangle OAB$において、辺$OA$を2:1に内分する点を$D$、辺$OB$を3:2に内分する点を$E$とする。線分$AE$と$BD$の交点を$P$とする。$\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OB}=\vec{b}$のとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表す。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$において、辺$OA$を2:1に内分する点を$D$、辺$OB$を3:2に内分する点を$E$とする。線分$AE$と$BD$の交点を$P$とする。$\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OB}=\vec{b}$のとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点$P$が線分$AE$上にあることから、実数$s$を用いて、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OE}$

と表せる。$\vec{OE} = \frac{3}{5}\vec{OB} = \frac{3}{5}\vec{b}$なので、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + s(\frac{3}{5}\vec{b}) = (1-s)\vec{a} + \frac{3s}{5}\vec{b}$

次に、点$P$が線分$BD$上にあることから、実数$t$を用いて、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OD}$

と表せる。$\vec{OD} = \frac{2}{3}\vec{OA} = \frac{2}{3}\vec{a}$なので、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{b} + t(\frac{2}{3}\vec{a}) = \frac{2t}{3}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

したがって、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{3s}{5}\vec{b} = \frac{2t}{3}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$1-s = \frac{2t}{3}$

$\frac{3s}{5} = 1-t$

これらの連立方程式を解く。

$s = 1 - \frac{5}{3}t$

$1 - (1 - \frac{5}{3}t) = \frac{2t}{3}$

$1 - 1 + \frac{5}{3}t = \frac{2t}{3}$

$\frac{5}{3}t = \frac{2t}{3}$

$3-3s = 2t$

$3s = 5 - 5t$

$3 - 3s = 2t$

$3s + 2t = 3$

$3s = 5(1-t)$

$3(1-s) = 2t$

$s = 1-\frac{2}{3}t$

$3(1 - \frac{5}{3}t) = 2t$

$3 - 5t = 2t$

$7t = 3$

$t = \frac{3}{7}$

$s = 1 - \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{7} = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$

$s = \frac{2}{7}$

$t = \frac{3}{7}$

$\vec{OP} = (1-\frac{2}{7})\vec{a} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} \vec{b} = \frac{5}{7}\vec{a} + \frac{6}{35}\vec{b}$

$\vec{OP} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7}\vec{a} + (1-\frac{3}{7})\vec{b} = \frac{2}{7}\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b}$

$1-s = 2t/3$

$3(1-s) = 2t$

$3 - 3s = 2t$

$3s/5 = 1-t$

$3s = 5(1-t) = 5 - 5t$

$3 - (5 - 5t) = 2t$

$3 - 5 + 5t = 2t$

$3t = 2$

$t = 2/3$

Then $s=0$, which is wrong.

$(1-s) = \frac{2}{3}t$

$\frac{3}{5}s = (1-t)$

$3-3s = 2t$

$15s = 25 - 25t$

$3s = \frac{25-25t}{5} = 5 - 5t$

$3s = 5 - 5t$

$3 - (5-5t) = 2t$

$3 - 5 + 5t = 2t$

$3t = 2$

$t=2/3$

$3-3s = 4/3$

$9-9s = 4$

$9s = 5$

$s = 5/9$

$\vec{OP} = (1-\frac{5}{9})\vec{a} + \frac{3}{5} (\frac{5}{9})\vec{b} = \frac{4}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

$\vec{OP} = \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} = \frac{4}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{4}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$