等比数列の一般項を求める問題です。公比は正の数で、初項から第3項までの和が3、第3項から第5項までの和が12であるという条件が与えられています。

1. 問題の内容

等比数列の一般項を求める問題です。公比は正の数で、初項から第3項までの和が3、第3項から第5項までの和が12であるという条件が与えられています。

2. 解き方の手順

初項を $a$ 、公比を $r$ とします。

初項から第3項までの和は $a + ar + ar^2 = a(1 + r + r^2)$ です。

第3項から第5項までの和は $ar^2 + ar^3 + ar^4 = ar^2(1 + r + r^2)$ です。

問題文から、以下の2つの式が得られます。

$a(1 + r + r^2) = 3$ (1)

$ar^2(1 + r + r^2) = 12$ (2)

(2)式を(1)式で割ると、

$\frac{ar^2(1 + r + r^2)}{a(1 + r + r^2)} = \frac{12}{3}$

$r^2 = 4$

公比 $r$ は正の数なので、$r = 2$ です。

$r = 2$ を (1)式に代入すると、

$a(1 + 2 + 2^2) = 3$

$a(1 + 2 + 4) = 3$

$7a = 3$

$a = \frac{3}{7}$

等比数列の一般項 $a_n$ は $a_n = ar^{n-1}$ で表されます。

したがって、$a_n = \frac{3}{7} \cdot 2^{n-1}$ です。

3. 最終的な答え

一般項は $a_n = \frac{3}{7} \cdot 2^{n-1}$ です。