$x+y+z=3$、$xy+yz+zx=-5$のとき、$x^2+y^2+z^2$の値を求めよ。

はい、承知いたしました。それでは、問題ごとに解説していきます。

**問題4**

1. 問題の内容

$x+y+z=3$、$xy+yz+zx=-5$のとき、$x^2+y^2+z^2$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$(x+y+z)^2$を展開すると、

$$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)$$

となる。したがって、

$$x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx)$$

に、$x+y+z=3$、$xy+yz+zx=-5$を代入する。

$$x^2+y^2+z^2 = 3^2 - 2(-5) = 9 + 10 = 19$$

3. 最終的な答え

$x^2+y^2+z^2 = 19$

**問題5**

(1) 問題の内容

$\sqrt{12}-\sqrt{108}$の整数部分を$a$、小数部分を$b$とするとき、$a, b$の値を求めよ。

(2) 問題の内容

$b^3 + \frac{1}{b^3}$の値を求めよ。

解き方の手順

(1)

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$

したがって、

$\sqrt{12}-\sqrt{108} = 2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$

ここで、$\sqrt{3} \approx 1.732$なので、

$-4\sqrt{3} \approx -4(1.732) = -6.928$

したがって、整数部分は$a = -7$となる。

小数部分は$b = -4\sqrt{3} - (-7) = 7 - 4\sqrt{3}$となる。

(2)

$b = 7-4\sqrt{3}$なので、

$\frac{1}{b} = \frac{1}{7-4\sqrt{3}} = \frac{7+4\sqrt{3}}{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})} = \frac{7+4\sqrt{3}}{49 - 16(3)} = \frac{7+4\sqrt{3}}{49-48} = 7+4\sqrt{3}$

$b + \frac{1}{b} = (7-4\sqrt{3}) + (7+4\sqrt{3}) = 14$

$$b^3 + \frac{1}{b^3} = (b + \frac{1}{b})^3 - 3b\frac{1}{b}(b + \frac{1}{b}) = (b + \frac{1}{b})^3 - 3(b + \frac{1}{b})$$

$b + \frac{1}{b} = 14$を代入して、

$b^3 + \frac{1}{b^3} = 14^3 - 3(14) = 2744 - 42 = 2702$

最終的な答え

(1) $a = -7$, $b = 7 - 4\sqrt{3}$

(2) $b^3 + \frac{1}{b^3} = 2702$

**問題6**

1. 問題の内容

$a$を正の定数とする。不等式$|x-2|<a$を満たす整数$x$がちょうど5個存在するような$a$の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

$|x-2|<a$は$-a < x-2 < a$と変形できる。さらに、$2-a < x < 2+a$となる。

この不等式を満たす整数$x$が5個存在するということは、$x = 2$を中心に左右に2個ずつ整数が存在するということである。

したがって、整数$x$は$2-2, 2-1, 2, 2+1, 2+2$、つまり$0, 1, 2, 3, 4$となる。

$2-a<0$かつ$4<2+a$でなければならない。

また、$2-a \geq -1$かつ$2+a \leq 5$でなければ、整数解は5個にならない。

$2-a < 0 \implies a > 2$

$4 < 2+a \implies a > 2$

$2-a \geq -1 \implies a \leq 3$

$2+a \leq 5 \implies a \leq 3$

以上より、$2 < a \leq 3$

3. 最終的な答え

$2 < a \leq 3$