曲線 $y = f(x)$ が点 $(1, 2)$ を通り、その曲線上の各点 $(x, y)$ における接線の傾きが $2x + 1$ で表されるとき、この曲線の方程式を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = f(x)$ が点 $(1, 2)$ を通り、その曲線上の各点 $(x, y)$ における接線の傾きが $2x + 1$ で表されるとき、この曲線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

接線の傾きは導関数 $f'(x)$ で表されるので、

$f'(x) = 2x + 1$

となる。

この式を積分して $f(x)$ を求める。

$f(x) = \int (2x + 1) dx$

$f(x) = x^2 + x + C$

ここで、$C$ は積分定数である。

曲線は点 $(1, 2)$ を通るので、$x = 1$ のとき $y = 2$ である。

$f(1) = 1^2 + 1 + C = 2$

$2 + C = 2$

$C = 0$

したがって、$f(x) = x^2 + x$ となる。

3. 最終的な答え

$y = x^2 + x$