問題は、複素数列 $\{z_n\}$ が $z_1 = 3$, $z_{n+1} = \sqrt{3} i z_n - 2\sqrt{3}i + 2$ で定義されているとき、一般項 $z_n$、線分 $P_n P_{n+1}$ の長さ、$ \angle P_n P_{n+1} P_{n+2}$ の角度 $\theta$、および三角形 $P_n P_{n+1} P_{n+2}$ の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、複素数列 $\{z_n\}$ が $z_1 = 3$, $z_{n+1} = \sqrt{3} i z_n - 2\sqrt{3}i + 2$ で定義されているとき、一般項 $z_n$、線分 $P_n P_{n+1}$ の長さ、$\angle P_n P_{n+1} P_{n+2}$ の角度 $\theta$、および三角形 $P_n P_{n+1} P_{n+2}$ の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z_{n+1} = \sqrt{3} i z_n - 2\sqrt{3}i + 2$ を $z_{n+1} - \alpha = \sqrt{3} i (z_n - \alpha)$ の形に変形します。

$\alpha = \sqrt{3} i \alpha - 2\sqrt{3}i + 2$ より、

$\alpha (1 - \sqrt{3} i) = 2 - 2\sqrt{3} i$

$\alpha = \frac{2 - 2\sqrt{3}i}{1 - \sqrt{3}i} = \frac{2(1 - \sqrt{3}i)}{1 - \sqrt{3}i} = 2$

よって、$z_{n+1} - 2 = \sqrt{3} i (z_n - 2)$ となります。

ここで、$w_n = z_n - 2$ とおくと、$w_{n+1} = \sqrt{3} i w_n$ であり、$w_1 = z_1 - 2 = 3 - 2 = 1$ です。

したがって、$w_n = (\sqrt{3} i)^{n-1} w_1 = (\sqrt{3} i)^{n-1}$ となります。

$z_n = w_n + 2$ より、$z_n = (\sqrt{3} i)^{n-1} + 2$

従って、$\sqrt{3}i = \sqrt{3} (\cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2})) = \sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{2}}$ なので

$z_n = (\sqrt{3})^{n-1} (i)^{n-1} + 2$

$P_n P_{n+1} = |z_{n+1} - z_n| = |(\sqrt{3}i)^n - (\sqrt{3}i)^{n-1}| = |(\sqrt{3}i)^{n-1} (\sqrt{3}i - 1)| = (\sqrt{3})^{n-1} |\sqrt{3}i - 1|$

$|\sqrt{3}i - 1| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

よって、$P_n P_{n+1} = 2(\sqrt{3})^{n-1} = 2 \sqrt{3}^{n-1}$

$2\sqrt{3}^{n-1} = 4\sqrt{3}^{n-5}$ より、

$2 = 4 \cdot 3^{-2} = 4/9$ これは成り立たない。

$z_{n+1}-2 = \sqrt{3}i (z_n-2)$

$z_n-2 = (\sqrt{3}i)^{n-1}(z_1-2) = (\sqrt{3}i)^{n-1}(3-2) = (\sqrt{3}i)^{n-1}$

$z_n = (\sqrt{3}i)^{n-1}+2$

$|z_{n+1}-z_n| = |(\sqrt{3}i)^n-(\sqrt{3}i)^{n-1}| = |(\sqrt{3}i)^{n-1}(\sqrt{3}i-1)| = |(\sqrt{3}i)^{n-1}||\sqrt{3}i-1| = (\sqrt{3})^{n-1} \sqrt{3+1} = 2 (\sqrt{3})^{n-1}$

$P_nP_{n+1} = 2\sqrt{3}^{n-1}$

$2\sqrt{3}^{n-1} = 4\sqrt{3}^{n-5}$より、 $\frac{1}{2} = 3^{-2}$ 従って $2=\frac{9}{2}$ これは成り立たない。

$P_nP_{n+1}= 2\sqrt{3}^{n-1}$

$z_1 = 3$

$z_2 = \sqrt{3}i(3)-2\sqrt{3}i+2 = \sqrt{3}i + 2$

$z_3 = \sqrt{3}i(\sqrt{3}i+2) - 2\sqrt{3}i + 2 = -3 + 2\sqrt{3}i - 2\sqrt{3}i + 2 = -1$

$z_4 = \sqrt{3}i(-1) - 2\sqrt{3}i + 2 = -3\sqrt{3}i + 2$

$z_5 = \sqrt{3}i (-3\sqrt{3}i+2) - 2\sqrt{3}i + 2 = 9 + 2\sqrt{3}i - 2\sqrt{3}i + 2 = 11$

$P_1P_2 = |z_2-z_1| = |2+\sqrt{3}i-3| = |-1+\sqrt{3}i| = \sqrt{1+3} = 2 = 2\sqrt{3}^{1-1}$

$P_2P_3 = |z_3-z_2| = |-1-2-\sqrt{3}i| = |-3-\sqrt{3}i| = \sqrt{9+3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}^{2-1}$

$z_{n+1}-2 = \sqrt{3}i (z_n - 2)$

$\frac{z_{n+2}-2}{z_{n+1}-2} = \sqrt{3}i$

$arg(\frac{z_{n+2}-2}{z_{n+1}-2}) = arg(\sqrt{3}i) = \frac{\pi}{2}$

$\theta = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

三角形の面積は $\frac{1}{2} P_nP_{n+1} P_{n+1}P_{n+2} sin \theta$

$\frac{1}{2} (2\sqrt{3}^{n-1})^2 sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} 4 \cdot 3^{n-1} \cdot 1 = 2 \cdot 3^{n-1}$

1: 3

2: 2

3: 2

4: 2

5: 1

6: 1

7: 2

8: 2

9: 3

10: 3

3. 最終的な答え

$z_n = (\sqrt{3} i)^{n-1} + 2$

$P_n P_{n+1} = 2\sqrt{3}^{n-1}$

$\theta = \frac{\pi}{2}$

三角形の面積 $= 2 \cdot 3^{n-1}$

解答は以下の通りです。

1: 3

2: 2

3: 2

4: 2

5: 1

6: 1

7: 2

8: 2

9: 3

10: 3