2点 $A(2, 5)$、 $B(3, 1)$ からの距離の比が $1:2$ である点 $P$ の軌跡を求めます。

1. 問題の内容

2点 $A(2, 5)$、 $B(3, 1)$ からの距離の比が $1:2$ である点 $P$ の軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とします。

$AP:BP = 1:2$ という条件から、 $2AP = BP$ が成り立ちます。

両辺を2乗すると、$4AP^2 = BP^2$ となります。

ここで、$AP^2 = (x - 2)^2 + (y - 5)^2$、 $BP^2 = (x - 3)^2 + (y - 1)^2$ です。

したがって、

$4((x - 2)^2 + (y - 5)^2) = (x - 3)^2 + (y - 1)^2$

これを展開して整理します。

$4(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25) = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1$

$4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 - 40y + 100 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1$

$3x^2 - 10x + 3y^2 - 38y + 106 = 0$

両辺を3で割り、平方完成を目指します。

$x^2 - \frac{10}{3}x + y^2 - \frac{38}{3}y + \frac{106}{3} = 0$

$(x - \frac{5}{3})^2 - (\frac{5}{3})^2 + (y - \frac{19}{3})^2 - (\frac{19}{3})^2 + \frac{106}{3} = 0$

$(x - \frac{5}{3})^2 + (y - \frac{19}{3})^2 = \frac{25}{9} + \frac{361}{9} - \frac{318}{9}$

$(x - \frac{5}{3})^2 + (y - \frac{19}{3})^2 = \frac{68}{9}$

$(x - \frac{5}{3})^2 + (y - \frac{19}{3})^2 = (\frac{2\sqrt{17}}{3})^2$

3. 最終的な答え

求める軌跡は、中心 $(\frac{5}{3}, \frac{19}{3})$、半径 $\frac{2\sqrt{17}}{3}$ の円です。