平面上に異なる2点O, Aがある。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$とする。次のベクトル方程式を満たす点Pはどのような図形を表すか。 (1) $(\overrightarrow{p} + \overrightarrow{a}) \cdot (\overrightarrow{p} - \overrightarrow{a}) = 0$ (2) $|\overrightarrow{p} + \overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{p} - \overrightarrow{a}|$

1. 問題の内容

平面上に異なる2点O, Aがある。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$とする。次のベクトル方程式を満たす点Pはどのような図形を表すか。

(1) $(\overrightarrow{p} + \overrightarrow{a}) \cdot (\overrightarrow{p} - \overrightarrow{a}) = 0$

(2) $|\overrightarrow{p} + \overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{p} - \overrightarrow{a}|$

2. 解き方の手順

(1) $(\overrightarrow{p} + \overrightarrow{a}) \cdot (\overrightarrow{p} - \overrightarrow{a}) = 0$ を変形する。

$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{p} - \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{p} - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = 0$

$|\overrightarrow{p}|^2 - |\overrightarrow{a}|^2 = 0$

$|\overrightarrow{p}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2$

$|\overrightarrow{p}| = |\overrightarrow{a}|$

これは、点Oからの距離が$|\overrightarrow{a}|$である点の集合を表すので、Oを中心とする半径$|\overrightarrow{a}|$の円となる。

(2) $|\overrightarrow{p} + \overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{p} - \overrightarrow{a}|$ の両辺を2乗する。

$|\overrightarrow{p} + \overrightarrow{a}|^2 = |\overrightarrow{p} - \overrightarrow{a}|^2$

$(\overrightarrow{p} + \overrightarrow{a}) \cdot (\overrightarrow{p} + \overrightarrow{a}) = (\overrightarrow{p} - \overrightarrow{a}) \cdot (\overrightarrow{p} - \overrightarrow{a})$

$|\overrightarrow{p}|^2 + 2\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{a} + |\overrightarrow{a}|^2 = |\overrightarrow{p}|^2 - 2\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{a} + |\overrightarrow{a}|^2$

$4\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{a} = 0$

$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{a} = 0$

これは、$\overrightarrow{OP} \perp \overrightarrow{OA}$ を意味する。

したがって、点Pは、点Oを通り直線OAに垂直な直線を表す。

3. 最終的な答え

(1) Oを中心とする半径$|\overrightarrow{a}|$の円

(2) Oを通り直線OAに垂直な直線