与えられた式 $x^3 + 3x^2y + zx^2 + 2xy^2 + 3xyz + 2zy^2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 + 3x^2y + zx^2 + 2xy^2 + 3xyz + 2zy^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を整理して見やすくします。

$x$ について整理することを考えます。

$x^3 + 3x^2y + zx^2 + 2xy^2 + 3xyz + 2zy^2 = x^3 + (3y+z)x^2 + (2y^2+3yz)x + 2zy^2$

次に、式全体を因数分解することを試みます。与えられた式を観察すると、$(x+y)$ という因子が含まれている可能性があると推測できます。試しに $(x+y)(x^2+ax+b)$ の形に因数分解できるか検討します。

$(x+y)$ で括り出すことを考え、与式に $x=-y$ を代入してみます。

$(-y)^3 + 3(-y)^2y + z(-y)^2 + 2(-y)y^2 + 3(-y)yz + 2zy^2 = -y^3 + 3y^3 + zy^2 - 2y^3 - 3y^2z + 2zy^2 = (-1+3-2)y^3 + (1-3+2)zy^2 = 0$

したがって、$(x+y)$ は与えられた式の因子であることがわかります。

ここで、元の式を $x+y$ で割ることを考えます。

$x^3 + (3y+z)x^2 + (2y^2+3yz)x + 2zy^2$ を $x+y$ で割ると、商は $x^2 + (2y+z)x + 2zy$ となります。

したがって、

$x^3 + 3x^2y + zx^2 + 2xy^2 + 3xyz + 2zy^2 = (x+y)[x^2 + (2y+z)x + 2zy]$

さらに、右側の二次式を因数分解することを試みます。

$x^2 + (2y+z)x + 2zy = (x+2y)(x+z)$

したがって、全体の式は

$x^3 + 3x^2y + zx^2 + 2xy^2 + 3xyz + 2zy^2 = (x+y)(x+2y)(x+z)$

3. 最終的な答え

$(x+y)(x+z)(x+2y)$