三角形ABCの内部の点Pについて、$\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{BP} + 4\overrightarrow{CP} = \vec{0}$が成り立つとき、$\overrightarrow{AP}$を$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$を用いて表す。また、直線APと辺BCの交点をDとするとき、BD:DCとAP:PDを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCの内部の点Pについて、$\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{BP} + 4\overrightarrow{CP} = \vec{0}$が成り立つとき、$\overrightarrow{AP}$を$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$を用いて表す。また、直線APと辺BCの交点をDとするとき、BD:DCとAP:PDを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{BP} + 4\overrightarrow{CP} = \vec{0}$を変形して、$\overrightarrow{AP}$を$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$で表す。

$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}$を代入すると、

$\overrightarrow{AP} + 3(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) + 4(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) = \vec{0}$

$8\overrightarrow{AP} - 3\overrightarrow{AB} - 4\overrightarrow{AC} = \vec{0}$

$8\overrightarrow{AP} = 3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{8}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{8}\overrightarrow{AC} = \frac{3}{8}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

次に、直線APと辺BCの交点をDとするとき、$\overrightarrow{AD}$を求める。

点Dは直線AP上にあるので、実数$k$を用いて$\overrightarrow{AD} = k\overrightarrow{AP}$と表せる。

$\overrightarrow{AD} = k (\frac{3}{8}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}) = \frac{3k}{8}\overrightarrow{AB} + \frac{k}{2}\overrightarrow{AC}$

また、点Dは辺BC上にあるので、実数$t$を用いて$\overrightarrow{AD} = (1-t)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$と表せる。

$\frac{3k}{8} = 1-t$、$\frac{k}{2} = t$

$\frac{3k}{8} = 1 - \frac{k}{2}$

$\frac{3k}{8} + \frac{4k}{8} = 1$

$\frac{7k}{8} = 1$

$k = \frac{8}{7}$

したがって、$\overrightarrow{AD} = \frac{3}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{7}\overrightarrow{AC}$

点Dは辺BC上にあるので、BD:DC = 4:3となる。

AP:PD = $\frac{8}{7} : (1 - \frac{8}{7}) = \frac{8}{7} : \frac{-1}{7}$

$\overrightarrow{AD} = \frac{8}{7} \overrightarrow{AP}$

したがって、AP:PD = 7:1

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{8}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

BD:DC = 4:3

AP:PD = 7:1