一辺の長さが $a$ の正三角形 $D_0$ から出発して、以下の手順で多角形 $D_1, D_2, ..., D_n$ を定義します。 (i) $D_{n-1}$ の1辺 $AB$ を3等分し、その分点を $A$ に近い方から $P, Q$ とする。 (ii) $PQ$ を1辺とする正三角形 $PQR$ を $D_{n-1}$ の外側に作る。 (iii) 辺 $AB$ を折れ線 $APRQB$ で置き換える。 $D_{n-1}$ のすべての辺に対して(i)〜(iii)の操作を行って得られる多角形を $D_n$ とする。 (1) $D_n$ の周の長さ $L_n$ を $a$ と $n$ で表せ。 (2) $D_n$ の面積 $S_n$ を $a$ と $n$ で表せ。 (3) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正三角形 $D_0$ から出発して、以下の手順で多角形 $D_1, D_2, ..., D_n$ を定義します。

(i) $D_{n-1}$ の1辺 $AB$ を3等分し、その分点を $A$ に近い方から $P, Q$ とする。

(ii) $PQ$ を1辺とする正三角形 $PQR$ を $D_{n-1}$ の外側に作る。

(iii) 辺 $AB$ を折れ線 $APRQB$ で置き換える。

$D_{n-1}$ のすべての辺に対して(i)〜(iii)の操作を行って得られる多角形を $D_n$ とする。

(1) $D_n$ の周の長さ $L_n$ を $a$ と $n$ で表せ。

(2) $D_n$ の面積 $S_n$ を $a$ と $n$ で表せ。

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 周の長さ $L_n$ について

$D_0$ は正三角形なので、$L_0 = 3a$。

操作(i)〜(iii)で、$D_{n-1}$ の各辺は長さ $1/3$ の線分2つと、長さ $1/3$ の辺を持つ正三角形の2辺に置き換わる。つまり、長さ $x$ の辺は $4x/3$ に置き換わる。したがって、$L_n = (4/3) L_{n-1}$ が成り立つ。

これは公比 $4/3$ の等比数列なので、$L_n = 3a (4/3)^n = a \cdot 4^n / 3^{n-1}$。

(2) 面積 $S_n$ について

$D_0$ は正三角形なので、$S_0 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$。

操作(i)〜(iii)によって、各辺に一辺の長さが $a/3^n$ の正三角形が追加される。

$D_{n-1}$ の辺の数は $D_0$ の辺の数 3 から $n$ 回の操作を経て $3 \cdot 4^{n-1}$ になる。

各正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{a}{3^n})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \frac{a^2}{9^n}$。

したがって、$S_n = S_{n-1} + 3 \cdot 4^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{a}{3^n})^2 = S_{n-1} + \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \frac{4^{n-1}}{3^{2n-1}} = S_{n-1} + \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \frac{1}{3} (\frac{4}{9})^{n-1}$。

$S_n = S_0 + \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{3}}{12} a^2 (\frac{4}{9})^{k-1} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{\sqrt{3}}{12} a^2 \sum_{k=0}^{n-1} (\frac{4}{9})^k = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{\sqrt{3}}{12} a^2 \frac{1 - (4/9)^n}{1 - 4/9} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{\sqrt{3}}{12} a^2 \frac{1 - (4/9)^n}{5/9} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{\sqrt{3}}{12} a^2 \frac{9}{5} (1 - (4/9)^n) = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3 \sqrt{3}}{20} a^2 (1 - (4/9)^n) = \frac{5 \sqrt{3}}{20} a^2 + \frac{3 \sqrt{3}}{20} a^2 - \frac{3 \sqrt{3}}{20} a^2 (\frac{4}{9})^n = \frac{2\sqrt{3}}{5}a^2 - \frac{3\sqrt{3}}{20} a^2(\frac{4}{9})^n$。

(3) 極限について

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} [\frac{2\sqrt{3}}{5}a^2 - \frac{3\sqrt{3}}{20} a^2(\frac{4}{9})^n] = \frac{2\sqrt{3}}{5} a^2 - \frac{3\sqrt{3}}{20}a^2 \cdot 0 = \frac{2\sqrt{3}}{5} a^2$。

3. 最終的な答え

(1) $L_n = a \cdot 4^n / 3^{n-1}$

(2) $S_n = \frac{2\sqrt{3}}{5}a^2 - \frac{3\sqrt{3}}{20} a^2(\frac{4}{9})^n$

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{2\sqrt{3}}{5} a^2$