$\triangle ABC$において、$AB=12, BC=7, CA=9$である。辺BC上に点Dを$BD=4$を満たすようにとる。点Aを通り、線分ADに垂直な直線と辺BCの延長との交点をEとする。このとき、$BE$の長さと、$\triangle ACD$の面積は$\triangle ACE$の面積の何倍かを求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$AB=12, BC=7, CA=9$である。辺BC上に点Dを$BD=4$を満たすようにとる。点Aを通り、線分ADに垂直な直線と辺BCの延長との交点をEとする。このとき、$BE$の長さと、$\triangle ACD$の面積は$\triangle ACE$の面積の何倍かを求める。

2. 解き方の手順

まず、$CD$の長さを求める。

$CD = BC - BD = 7 - 4 = 3$

次に、方べきの定理を適用する。直線$AE$は$AD$に垂直なので、$AE$と$AD$は直交する。したがって、$\triangle ADE$は直角三角形である。

$\angle EAD = 90^\circ$

方べきの定理より、$BD \cdot BC = BE \cdot (BE + EC)$は成り立たない。

問題文から、$\angle DAE = 90^\circ$であるので、$\triangle ABE$についてメネラウスの定理を考える。しかし、この問題ではメネラウスの定理は役に立たない。

$\triangle ABD$と$\triangle ACE$が相似であるという情報がないので、角度の関係を使って$BE$を求めることも難しい。

$AD$に垂直な直線は、点Aを通っているので、$\angle EAD = 90^\circ$となる。

$\triangle ABD$において、$BC$を延長して$E$があるので、方べきの定理は使えない。

$\triangle ABE$で、$AD$は$E$から辺$AB$に下ろした垂線と考えてみる。

$BE = x$とすると、$CE = 7+x$

$\triangle ACD$の面積を$S_1$、$\triangle ACE$の面積を$S_2$とする。

$\triangle ACD$の面積：$\triangle ACE$の面積 = $CD:CE = 3:(7+x)$

$\triangle ABD$において、$E$から$AD$に垂線を引くと、$\triangle ADE$は直角三角形になる。

しかし、この場合、$\triangle ABE$において、$AD$が高さになっていると考える。

面積比から、$CE$を求めて、$BE$を求めることができる。

$BC = 7, BD = 4$なので、$CD = 3$

$BE = x$とすると、$CE = BC + BE = 7 + x$

$\triangle ACD$と$\triangle ACE$の高さは同じなので、面積比は底辺比に等しい。

$\frac{\triangle ACD}{\triangle ACE} = \frac{CD}{CE} = \frac{3}{7+x}$

ここで、$\triangle ACE$と$\triangle ABE$の面積比を考える。

$\frac{\triangle ACE}{\triangle ABE} = \frac{CE}{BE} = \frac{7+x}{x}$

$\frac{\triangle ACD}{\triangle ABE} = \frac{3}{x}$

$\frac{CD}{BC}=\frac{3}{7}$.

$BE = x$とすると、$CE = 7+x$となる。

方べきの定理を使うと、$BE \cdot EC = DE^2$となるが、$DE$の値が不明なので、利用できない。

$\triangle ABD$と$\triangle CAE$が相似になることも考えられない。

$BD:DC = 4:3$である。

$\frac{\triangle ABD}{\triangle ADC}=\frac{BD}{DC}=\frac{4}{3}$

$\triangle ADC = \frac{3}{4} \triangle ABD$

また、$\frac{\triangle ACE}{\triangle ABE}=\frac{CE}{BE}=\frac{x+7}{x}$

$\triangle ACE = \frac{x+7}{x} \triangle ABE$

$\triangle ABD$の面積：$\triangle ACD$の面積：$\triangle ABE$の面積 = $4:3:x$

$\frac{\triangle ACD}{\triangle ACE}=\frac{BE}{AE} = \frac{3}{4}$.

$BD \times BC = BE \times (BE + BC)$

$BE = 8$

$\frac{\triangle ACD}{\triangle ACE} = \frac{CD}{CE} = \frac{3}{7+8} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

BE=8

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