与えられた数式の値を計算します。数式は、$|2\sqrt{2} - \pi| + |\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}|$ です。ここで、$\pi$ は円周率を表します。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は、$|2\sqrt{2} - \pi| + |\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}|$ です。ここで、$\pi$ は円周率を表します。

2. 解き方の手順

まず、$2\sqrt{2}$ と $\pi$ の値を比較します。$\sqrt{2} \approx 1.414$ であるため、$2\sqrt{2} \approx 2.828$ です。一方、$\pi \approx 3.14159$ です。したがって、$2\sqrt{2} < \pi$ となり、$2\sqrt{2} - \pi$ は負の数です。絶対値を取ると、$\pi - 2\sqrt{2}$ となります。

次に、$\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$ を計算します。分母を有理化するために、分母と分子に $1+\sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = \frac{1 + 2\sqrt{2} + 2}{1 - 2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{-1} = -3 - 2\sqrt{2}$

したがって、$|\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}| = |-3 - 2\sqrt{2}| = |-(3 + 2\sqrt{2})| = 3 + 2\sqrt{2}$

与えられた式は、$|2\sqrt{2} - \pi| + |\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}| = (\pi - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2})$ となります。

$(\pi - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2}) = \pi + 3$

3. 最終的な答え

$\pi + 3$