一辺の長さが $a$ の正三角形 $D_0$ から出発して、多角形 $D_1, D_2, \dots, D_n, \dots$ を以下の規則で定める。 (i) $AB$ を $D_{n-1}$ の1辺とする。辺 $AB$ を3等分し、その分点を $A$ に近い方から $P, Q$ とする。 (ii) $PQ$ を1辺とする正三角形 $PQR$ を $D_{n-1}$ の外側に作る。 (iii) 辺 $AB$ を折れ線 $APRQB$ で置き換える。 $D_{n-1}$ の全ての辺に対して (i)～(iii) の操作を行って得られる多角形を $D_n$ とする。 (1) $D_n$ の周の長さ $L_n$ を $a$ と $n$ で表せ。 (2) $D_n$ の面積 $S_n$ を $a$ と $n$ で表せ。 (3) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正三角形 $D_0$ から出発して、多角形 $D_1, D_2, \dots, D_n, \dots$ を以下の規則で定める。

(i) $AB$ を $D_{n-1}$ の1辺とする。辺 $AB$ を3等分し、その分点を $A$ に近い方から $P, Q$ とする。

(ii) $PQ$ を1辺とする正三角形 $PQR$ を $D_{n-1}$ の外側に作る。

(iii) 辺 $AB$ を折れ線 $APRQB$ で置き換える。

$D_{n-1}$ の全ての辺に対して (i)～(iii) の操作を行って得られる多角形を $D_n$ とする。

(1) $D_n$ の周の長さ $L_n$ を $a$ と $n$ で表せ。

(2) $D_n$ の面積 $S_n$ を $a$ と $n$ で表せ。

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 周の長さ $L_n$ について考える。

$D_{n-1}$ の各辺を3等分し、その中央の区間に正三角形を加える操作を行う。

この操作により、各辺の長さは $\frac{1}{3}$ の長さの辺2つに置き換わる。

したがって、1辺あたり $\frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3}$ の辺が2つ増えるので、周の長さは $\frac{4}{3}$ 倍になる。

$L_0 = 3a$ であり、$L_n = L_{n-1} \times \frac{4}{3}$ なので、$L_n$ は初項 $3a$、公比 $\frac{4}{3}$ の等比数列である。

したがって、$L_n = 3a \left( \frac{4}{3} \right)^n$

(2) 面積 $S_n$ について考える。

$D_0$ の面積は $S_0 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ である。

$D_{n-1}$ の各辺に、一辺が $\frac{a}{3^n}$ の正三角形を付け加える。

$D_{n-1}$ は $3 \cdot 4^{n-1}$ 個の辺を持つので、付け加える正三角形の個数は $3 \cdot 4^{n-1}$ 個である。

一辺が $\frac{a}{3^n}$ の正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{a}{3^n}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \frac{a^2}{9^n}$ である。

したがって、 $S_n = S_{n-1} + 3 \cdot 4^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \frac{a^2}{9^n}$ となる。

$S_n = S_{n-1} + 3 \cdot 4^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \frac{a^2}{9^n} = S_{n-1} + \frac{3\sqrt{3}a^2}{4} \cdot \frac{4^{n-1}}{9^n} = S_{n-1} + \frac{\sqrt{3}a^2}{12} \left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}$

$S_n = S_0 + \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{3}a^2}{12} \left(\frac{4}{9}\right)^{k-1} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{\sqrt{3}a^2}{12} \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{4}{9}\right)^k$

$S_n = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{\sqrt{3}a^2}{12} \frac{1 - (\frac{4}{9})^n}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{\sqrt{3}a^2}{12} \frac{1 - (\frac{4}{9})^n}{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{\sqrt{3}a^2}{12} \cdot \frac{9}{5} \left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n\right)$

$S_n = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3\sqrt{3}a^2}{20} \left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n\right)$

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求める。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3\sqrt{3}a^2}{20} \left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n\right) \right)$

$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4}{9}\right)^n = 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3\sqrt{3}a^2}{20} = \frac{5\sqrt{3}a^2 + 3\sqrt{3}a^2}{20} = \frac{8\sqrt{3}a^2}{20} = \frac{2\sqrt{3}}{5}a^2$

3. 最終的な答え

(1) $L_n = 3a \left( \frac{4}{3} \right)^n$

(2) $S_n = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3\sqrt{3}a^2}{20} \left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n\right)$

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{2\sqrt{3}}{5}a^2$