問題は以下の通りです。 (1) $\triangle DBE$ と $\triangle ECF$ が合同であることを証明する。 (2) $AD=16cm$, $AF=20cm$, $BC=22cm$ のとき、線分 $DB$ の長さを求める。ただし、$\triangle ABC$ は $AB=AC$ の二等辺三角形であり、$D, E, F$ はそれぞれ辺 $AB, BC, CA$ 上の点であり、$BE=CF$, $\angle BED = \angle CFE$ である。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) $\triangle DBE$ と $\triangle ECF$ が合同であることを証明する。

(2) $AD=16cm$, $AF=20cm$, $BC=22cm$ のとき、線分 $DB$ の長さを求める。ただし、$\triangle ABC$ は $AB=AC$ の二等辺三角形であり、$D, E, F$ はそれぞれ辺 $AB, BC, CA$ 上の点であり、$BE=CF$, $\angle BED = \angle CFE$ である。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle DBE$ と $\triangle ECF$ の合同の証明：

まず、仮定より $BE = CF$ ... (1)

次に、$\angle BED = \angle CFE$ より、$\angle DEB = \angle FEC$ ... (2)

また、$\triangle ABC$ は $AB = AC$ の二等辺三角形であるから、$\angle ABC = \angle ACB$ ... (3)

したがって、$\triangle DBE$ において、$\angle BDE = 180^\circ - (\angle DBE + \angle DEB)$ であり、$\triangle ECF$ において、$\angle EFC = 180^\circ - (\angle ECF + \angle FEC)$ である。

(2) (3) より $\angle BDE = \angle EFC$ ... (4)

(1), (2), (4) より、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、$\triangle DBE \equiv \triangle ECF$ である。

(2) 線分 $DB$ の長さを求める：

$\triangle DBE \equiv \triangle ECF$ より、$DB = EC$ ... (5)

$BE = CF$ であり、$BC = BE + EC + CF = 22cm$ である。

$BC = BE + EC = 22$

$BC = BE+EC = 22$ より

$BC = BE + EC = 22$

$BE = CF$ より

$BE +EC = 22$

仮定より、$BC = BE+EC = 22$

$AB = AD + DB = 16+DB$

$AC = AF + FC = 20+FC$

$AB = AC$ より $16+DB = 20 + FC$ ... (6)

$\triangle DBE \equiv \triangle ECF$ より $DB = EC$ であるので、$BE + EC = BC$ より

$BC = BE + EC = 22$ 。

$BE+DB=BC = 22$

$DB + CF = 22$.

$16+DB = 20+FC$ より、$FC = DB-4$

$DB + CF = BC = 22$ に代入すると、$DB+(DB-4) = 22$

$2DB - 4 = 22$

$2DB = 26$

$DB = 13$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle DBE$ と $\triangle ECF$ は合同である。

(2) $DB = 13cm$