中心C、半径5の円Oと、円Oと共有点を持たない直線lがある。点Cを通りlに垂直な直線(円Oの直径を含む直線)と、円Oとの交点をA,Bとし、lとの交点をDとする(AD > BDとする)。点Dから円Oに接線を引き、接点をEとし、A,B,E以外の円周上の点Fにおける円Oの接線とlとの交点をGとする。 (1) $DE$, $FG$を求める。また$FG$とある値との大小関係を求める。 (2) 線分$FG$の長さの最小値が12であるとき、ある長さを求め、またある三角形と相似な三角形を求め、比の値を求め、ある線分の長さを求める。

1. 問題の内容

中心C、半径5の円Oと、円Oと共有点を持たない直線lがある。点Cを通りlに垂直な直線(円Oの直径を含む直線)と、円Oとの交点をA,Bとし、lとの交点をDとする(AD > BDとする)。点Dから円Oに接線を引き、接点をEとし、A,B,E以外の円周上の点Fにおける円Oの接線とlとの交点をGとする。

(1) $DE$, $FG$を求める。また$FG$とある値との大小関係を求める。

(2) 線分$FG$の長さの最小値が12であるとき、ある長さを求め、またある三角形と相似な三角形を求め、比の値を求め、ある線分の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$DE$について、$DE$は点Dから円Oへの接線であるから、$DE^2 = DB \cdot DA$が成り立つ。また、$DA = DC + CA = DC + 5$、$DB = DC - CB = DC - 5$であるから、$DE^2 = (DC-5)(DC+5) = DC^2 - 25$。

ここで、$DC = \sqrt{DE^2 + EC^2}$，$EC = 5$であるから、$DE^2 = DC^2 - 25 = (5+CD)^2 - 25 = 25+10CD+CD^2-25$。したがって、$DE^2 = CD^2 + 10CD$より、$DE = \sqrt{DC^2 - 25} = \sqrt{DC^2 - 5^2}$.

点Fにおける円Oの接線とlとの交点をGとするとき、$FG$は点Gから円Oへの接線であるから、$FG^2 = GB \cdot GA$が成り立つ。また、$GA = GC + CA = GC + 5$、$GB = GC - CB = GC - 5$であるから、$FG^2 = (GC-5)(GC+5) = GC^2 - 25$。したがって、$FG = \sqrt{GC^2 - 25} = \sqrt{GC^2 - 5^2}$.

点FがA,B,E以外のどこにあっても、$FG \ge DE$が成り立つ。

ゆえに，$DE = \sqrt{CD^2-25}$, $FG=\sqrt{GC^2-25}$

(2)

$FG$の最小値は、点FがEに近づくほど小さくなり、$FG$の最小値は$DE$となる。

したがって、線分$FG$の長さの最小値が12であるとき、$DE=12$。$DE^2 = DC^2 - 25 = 144$。$DC^2 = 169$, $DC = 13$.

$CI = DC - DI = DC - 0 = 13-5 = 8$となる.

また、このとき、$\triangle DBE$と$\triangle CDE$は相似である。$\angle CDE = \angle DBE$が成り立つ。

$\frac{AE}{BE} = \frac{AD}{BD} = \frac{13+5}{13-5} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$.

$AE = \frac{9\sqrt{40}}{5} = \frac{18\sqrt{10}}{5}$.

3. 最終的な答え

(1) $DE = \sqrt{CD^2 - 25}, FG = \sqrt{CG^2 - 25}, FG \ge DE$

(2) $CD = 13, \triangle DBE$と$\triangle CDE$が相似である。$\frac{AE}{BE} = \frac{9}{4}$. $AE = \frac{18\sqrt{10}}{5}$.