正六角形について、以下の数を求めます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数 (3) 対角線の本数

1. 問題の内容

正六角形について、以下の数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数

(3) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 三角形の個数:

正六角形の6個の頂点から3個を選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの公式で計算できます。

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{}_6 C _3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20

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よって、三角形は20個できます。

(2) 線分の本数:

正六角形の6個の頂点から2個を選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの公式で計算できます。

$$$$

{}_6 C _2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15

$$$$

よって、線分は15本できます。

(3) 対角線の本数:

正六角形の頂点の数 $n$ は 6 です。対角線の本数は、すべての線分の本数から辺の数を引くことで計算できます。

正六角形の辺の数は6です。すべての線分の本数は(2)で計算したように15本です。

よって、対角線の本数は $15 - 6 = 9$ 本です。

または、対角線の本数を直接計算する公式を用いることもできます。

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\frac{n(n-3)}{2}

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ここで$n=6$を代入すると、

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\frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = 9

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よって、対角線は9本です。

3. 最終的な答え

(1) 三角形の個数: 20個

(2) 線分の本数: 15本

(3) 対角線の本数: 9本