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直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺ABとBCの長さの和が14cmである。このとき、直角三角形ABCの面積の最大値を求める。

幾何学直角三角形面積最大値二次関数平方完成
2025/6/5

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺ABとBCの長さの和が14cmである。このとき、直角三角形ABCの面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

ABの長さをxx、BCの長さをyyとする。問題文より、x+y=14x+y=14である。
直角三角形ABCの面積をSSとすると、S=12xyS = \frac{1}{2}xyである。
y=14−xy = 14-xをSSに代入すると、S=12x(14−x)=12(14x−x2)=−12x2+7xS = \frac{1}{2}x(14-x) = \frac{1}{2}(14x - x^2) = -\frac{1}{2}x^2 + 7xとなる。
SSをxxの関数と見て、最大値を求めるために平方完成を行う。
S=−12(x2−14x)=−12(x2−14x+49−49)=−12((x−7)2−49)=−12(x−7)2+492S = -\frac{1}{2}(x^2 - 14x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 14x + 49 - 49) = -\frac{1}{2}((x-7)^2 - 49) = -\frac{1}{2}(x-7)^2 + \frac{49}{2}となる。
0<x<140 < x < 14なので、x=7x=7のとき、SSは最大値492\frac{49}{2}をとる。

3. 最終的な答え

492 cm2\frac{49}{2} \text{ cm}^2

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