三角形ABCにおいて、辺BC上の点PはBP:PC=5:4を満たし、線分AP上の点OはAO:OP=3:4を満たす。このとき、三角形OBCと三角形ABCの面積比を求めよ。つまり、$\triangle OBC : \triangle ABC$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC上の点PはBP:PC=5:4を満たし、線分AP上の点OはAO:OP=3:4を満たす。このとき、三角形OBCと三角形ABCの面積比を求めよ。つまり、$\triangle OBC : \triangle ABC$を求める。

2. 解き方の手順

$\triangle PBC$と$\triangle ABC$の面積比を考える。底辺の比が面積の比に等しいので、

$\triangle PBC : \triangle ABC = PC : BC$

ここで、$BC = BP + PC$ であり、$BP:PC = 5:4$なので、$BC = 5+4=9$とすると、$PC = 4$である。

したがって、

$\triangle PBC : \triangle ABC = 4:9$

次に、$\triangle OBC$と$\triangle PBC$の面積比を考える。底辺をそれぞれOBとPBと考えると、高さは共通なので、面積比は底辺の比に等しい。AP上にOがあることから、$\triangle OBC$と$\triangle PBC$の高さは共通である。

したがって、

$\triangle OBC : \triangle PBC = OP : AP$

ここで、$AP = AO + OP$ であり、$AO:OP = 3:4$なので、$AP = 3+4=7$とすると、$OP = 4$である。

したがって、

$\triangle OBC : \triangle PBC = 4:7$

$\triangle OBC : \triangle PBC = 4:7$を変形すると、$\triangle PBC = \frac{7}{4}\triangle OBC$となる。

これを$\triangle PBC : \triangle ABC = 4:9$に代入すると、$\frac{7}{4}\triangle OBC : \triangle ABC = 4:9$となる。

$\frac{7}{4}\triangle OBC \times 9 = \triangle ABC \times 4$

$\triangle OBC \times 63 = \triangle ABC \times 16$

$\triangle OBC : \triangle ABC = 16 : 63$

3. 最終的な答え

$\triangle OBC : \triangle ABC = 16:63$