座標平面上に円 $C: x^2 + y^2 - 6x - 8y + 15 = 0$ がある。円 $C$ と $y$ 軸との交点を $P, Q$ とする。ただし、$OP < OQ$ である。 (1) 円 $C$ の中心に関して点 $P$ と対称な点 $R$ の座標を求めよ。 (2) 点 $Q$ における円 $C$ の接線を $l$ とするとき、点 $R$ と直線 $l$ の距離を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $C: x^2 + y^2 - 6x - 8y + 15 = 0$ がある。円 $C$ と $y$ 軸との交点を $P, Q$ とする。ただし、$OP < OQ$ である。

(1) 円 $C$ の中心に関して点 $P$ と対称な点 $R$ の座標を求めよ。

(2) 点 $Q$ における円 $C$ の接線を $l$ とするとき、点 $R$ と直線 $l$ の距離を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、円 $C$ の方程式を平方完成する。

$$x^2 - 6x + y^2 - 8y + 15 = 0$$

$$(x - 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 + 15 = 0$$

$$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 10$$

よって、円 $C$ の中心は $(3, 4)$、半径は $\sqrt{10}$ である。

次に、円 $C$ と $y$ 軸との交点 $P, Q$ を求める。$y$ 軸との交点なので、$x = 0$ を円 $C$ の方程式に代入する。

$$0^2 + y^2 - 6(0) - 8y + 15 = 0$$

$$y^2 - 8y + 15 = 0$$

$$(y - 3)(y - 5) = 0$$

よって、$y = 3, 5$ である。$OP < OQ$ より、$P(0, 3), Q(0, 5)$ である。

円 $C$ の中心を $M(3, 4)$ とする。点 $R$ は点 $P$ と点 $M$ に関して対称なので、$R(x, y)$ とすると、点 $M$ は線分 $PR$ の中点となる。

$$\frac{0 + x}{2} = 3, \frac{3 + y}{2} = 4$$

$$x = 6, y = 5$$

よって、$R(6, 5)$ である。

(2)

点 $Q(0, 5)$ における円 $C$ の接線 $l$ の方程式を求める。中心 $M(3, 4)$ と点 $Q(0, 5)$ を通る直線の傾きは、

$$\frac{5 - 4}{0 - 3} = -\frac{1}{3}$$

接線 $l$ は直線 $MQ$ と直交するので、接線 $l$ の傾きは $3$ である。

よって、接線 $l$ の方程式は、

$$y - 5 = 3(x - 0)$$

$$y = 3x + 5$$

$$3x - y + 5 = 0$$

点 $R(6, 5)$ と直線 $l: 3x - y + 5 = 0$ の距離 $d$ は、

$$d = \frac{|3(6) - 5 + 5|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}$$

$$d = \frac{|18|}{\sqrt{10}}$$

$$d = \frac{18}{\sqrt{10}} = \frac{18\sqrt{10}}{10} = \frac{9\sqrt{10}}{5}$$

3. 最終的な答え

(1) $R(6, 5)$

(2) $\frac{9\sqrt{10}}{5}$