第3項が1、初項から第3項までの和が7である等比数列$\{a_n\}$の初項から第n項までの和$S_n$を求める問題です。ただし、公比は正の実数とします。

1. 問題の内容

第3項が1、初項から第3項までの和が7である等比数列$\{a_n\}$の初項から第n項までの和$S_n$を求める問題です。ただし、公比は正の実数とします。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の初項を$a$、公比を$r$と置きます。第3項が1であることから、

$ar^2 = 1$

となります。

また、初項から第3項までの和が7であることから、

$a + ar + ar^2 = 7$

となります。

$ar^2=1$ を $a + ar + ar^2 = 7$ に代入すると、

$a + ar + 1 = 7$

$a + ar = 6$

$a(1+r)=6$

ここで、$ar^2 = 1$ より $a = \frac{1}{r^2}$ なので、これを $a(1+r)=6$ に代入すると、

$\frac{1}{r^2}(1+r) = 6$

$1+r = 6r^2$

$6r^2 - r - 1 = 0$

$(2r-1)(3r+1) = 0$

$r = \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}$

公比は正の実数なので、$r = \frac{1}{2}$となります。

このとき、$a = \frac{1}{r^2} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = 4$となります。

したがって、初項$a=4$, 公比$r=\frac{1}{2}$ の等比数列の初項から第n項までの和$S_n$は、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{4(1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}} = \frac{4(1-(\frac{1}{2})^n)}{\frac{1}{2}} = 8(1-(\frac{1}{2})^n) = 8(1-\frac{1}{2^n}) = 8 - \frac{8}{2^n} = 8 - \frac{2^3}{2^n} = 8 - 2^{3-n}$

3. 最終的な答え

$S_n = 8 - 2^{3-n}$