初項から第3項までの和が78、第2項から第4項までの和が234である等比数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求める問題です。

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が78、第2項から第4項までの和が234である等比数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求める問題です。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を$a$、公比を$r$とすると、与えられた条件は次の連立方程式で表されます。

$a + ar + ar^2 = 78$ ...(1)

$ar + ar^2 + ar^3 = 234$ ...(2)

式(2)を$r(a + ar + ar^2) = 234$と変形できます。

ここで、式(1)より$a + ar + ar^2 = 78$なので、$r(78) = 234$となります。

よって、$r = \frac{234}{78} = 3$です。

次に、$r=3$を式(1)に代入すると、

$a + 3a + 9a = 78$

$13a = 78$

$a = \frac{78}{13} = 6$

したがって、$a=6$となります。

等比数列の一般項$a_n$は、$a_n = a \cdot r^{n-1}$で表されるので、$a_n = 6 \cdot 3^{n-1}$となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 6 \cdot 3^{n-1}$