2次方程式 $2x^2 - x - 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2$ の値を求めよ。ただし、$\alpha + \beta = \frac{1}{2}$, $\alpha\beta = -2$ である。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - x - 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2$ の値を求めよ。ただし、$\alpha + \beta = \frac{1}{2}$, $\alpha\beta = -2$ である。

2. 解き方の手順

$\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2$ を変形する。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ であるから、$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ となる。

したがって、

$\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2 = (\alpha^2 + \beta^2) - \alpha\beta = ((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta) - \alpha\beta = (\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta$

$\alpha + \beta = \frac{1}{2}$, $\alpha\beta = -2$ を代入すると、

$\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2 = (\frac{1}{2})^2 - 3(-2) = \frac{1}{4} + 6 = \frac{1}{4} + \frac{24}{4} = \frac{25}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{25}{4}$