画像に書かれた2つの複素数方程式を解く問題です。 (1) $z^6 = 1$ (2) $z^3 = -8i$

1. 問題の内容

画像に書かれた2つの複素数方程式を解く問題です。

(1) $z^6 = 1$

(2) $z^3 = -8i$

2. 解き方の手順

(1) $z^6 = 1$ を解きます。

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$とおくと、ド・モアブルの定理より、

$z^6 = r^6(\cos 6\theta + i\sin 6\theta) = 1$

$1 = 1(\cos 0 + i\sin 0)$より、$r^6 = 1$なので、$r = 1$ （$r$ は実数なので）

$6\theta = 0 + 2k\pi$ ($k$は整数)

$\theta = \frac{k\pi}{3}$ ($k=0, 1, 2, 3, 4, 5$)

$z = \cos \frac{k\pi}{3} + i\sin \frac{k\pi}{3}$ ($k=0, 1, 2, 3, 4, 5$)

$k=0$のとき $z = 1$

$k=1$のとき $z = \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$k=2$のとき $z = \cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$k=3$のとき $z = \cos \pi + i\sin \pi = -1$

$k=4$のとき $z = \cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$k=5$のとき $z = \cos \frac{5\pi}{3} + i\sin \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

(2) $z^3 = -8i$ を解きます。

$-8i = 8(\cos \frac{3\pi}{2} + i\sin \frac{3\pi}{2})$

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$とおくと、ド・モアブルの定理より、

$z^3 = r^3(\cos 3\theta + i\sin 3\theta) = -8i = 8(\cos \frac{3\pi}{2} + i\sin \frac{3\pi}{2})$

$r^3 = 8$より、$r = 2$

$3\theta = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ ($k$は整数)

$\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{2k\pi}{3}$ ($k=0, 1, 2$)

$k=0$のとき $\theta = \frac{\pi}{2}$, $z = 2(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}) = 2i$

$k=1$のとき $\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}$, $z = 2(\cos \frac{7\pi}{6} + i\sin \frac{7\pi}{6}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = -\sqrt{3} - i$

$k=2$のとき $\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{3} = \frac{11\pi}{6}$, $z = 2(\cos \frac{11\pi}{6} + i\sin \frac{11\pi}{6}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = \sqrt{3} - i$

3. 最終的な答え

(1) $z = 1, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -1, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

(2) $z = 2i, -\sqrt{3} - i, \sqrt{3} - i$