三角形ABCの3辺の長さがそれぞれ $a = \sqrt{15}$, $b = 6$, $c = 5\sqrt{2}$ であるとき、三角形ABCが鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれであるかを判定する。

1. 問題の内容

三角形ABCの3辺の長さがそれぞれ $a = \sqrt{15}$, $b = 6$, $c = 5\sqrt{2}$ であるとき、三角形ABCが鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれであるかを判定する。

2. 解き方の手順

三角形の形状は、余弦定理を用いて判定できます。具体的には、3辺の長さの二乗の間の関係を調べることで、最大角の種類を判定します。最大角が直角なら直角三角形、鋭角なら鋭角三角形、鈍角なら鈍角三角形となります。

まず、各辺の二乗を計算します。

$a^2 = (\sqrt{15})^2 = 15$

$b^2 = 6^2 = 36$

$c^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50$

次に、最も長い辺（ここではc）の二乗と、他の2辺の二乗の和を比較します。

$a^2 + b^2 = 15 + 36 = 51$

$c^2 = 50$

$a^2 + b^2 > c^2$ なので、三角形ABCは鋭角三角形です。

（余弦定理より、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$。$a^2 + b^2 > c^2$ より $2ab \cos C > 0$ となり $\cos C > 0$。つまり $0 < C < \pi/2$）

3. 最終的な答え

鋭角三角形